[math]2021年度京都大学理系第1問

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問題

問1

$xyz$空間の$3$点$A(1,\ 0,\ 0),\ B(0,\ -1,\ 0),\ C(0,\ 0,\ 2)$を通る平面$\alpha$に関して点$P(1,\ 1,\ 1)$と対称な点$Q$の座標を求めよ。ただし、点$Q$が平面$\alpha$に関して$P$と対称であるとは、線分$PQ$の中点$M$が平面$\alpha$上にあり、直線$PM$が$P$から平面$\alpha$に下ろした垂線となることである。

問2

赤玉、白玉、青玉、黄玉が$1$個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を$1$個取り出し、その玉の色を記録してから袋に戻す。この施行を繰り返すとき、$n$回目の施行で初めて赤玉が取り出されて$4$種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。ただし$n$は$4$以上の整数とする。

($40$点)

方針

問1 一般に$xyz$空間の平面は$ax+by+cz = d$とおけるが、$d = 0$の時はこれは直線あるいは点になるので$d\ne0$として良く、$\frac{a}{d}x + \frac{b}{d}y+\frac{c}{d}z = 1$として、$a^{\prime}=\frac{a}{d},\ b^{\prime} = \frac{b}{d},\ c^{\prime} = \frac{c}{d}$として考えれば文字数が減らせる。$xy$平面では点$(p,\ q)$と直線$ax+by=1$の距離は$\frac{|ap+bq-1|}{\sqrt{a^2+b^2}}$で与えられた。 $xyz$空間でも同様に点$(p,\ q,\ r)$と平面$ax+by+cz = 1$の距離は $$\frac{|ap+bq+cr-1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ で求められる。平面$\alpha$を$ax+by+cz = 1$とした時、$\alpha$に垂直なベクトルは$(a,\ b,\ c)$で与えられる。これはそもそも平面の方程式の作り方から当然である。 $\alpha$上のある点$P_0$を$(a_0,\ b_0,\ c_0)$とした時、平面の方程式は「$\alpha$に垂直なベクトル」と「$\alpha$上の$1$点」さえ定めれば決まる。これを式で表すと、 $$(a,\ b,\ c)\cdot (x-a_0,\ y-b_0,\ z-c_0) = 0$$ $$ax+by+cz = aa_0 + bb_0 + cc_0$$ となるから、ベクトル$(a,\ b,\ c)$は$\alpha$に垂直なベクトル（の一つ）という訳である。せっかくこのベクトルが求まったのだから、利用する時は単位ベクトルにするのを忘れてはいけない。

問2 $1$から$n-1$回目までは赤玉以外の全てがでなければならない。こういった場合、余事象を考えれば良く、全ての出方が$3^{n-1}$通りから、$1$種類だけでる場合と$2$種類出る場合を除く。$2$種類出る場合は、$3\cdot2^{n-1}$通りでなく$3(2^{n-1}-2)$通りとなる。これは$2^{n-1}$通りの中に、どちらか$1$種類だけしか出ていない場合が$2$通りあるからである。

解答

問1

平面$\alpha$を$ax+by+cz = 1$と置く。この平面が点$A, B, C$を通ることから
$$a\cdot1 + b\cdot0+c\cdot0 = 1 $$

$$ a\cdot0 + b\cdot(-1)+c\cdot 0 = 1$$

$$a\cdot0 + b\cdot0+c\cdot2 = 1$$となり、$a = 1,\ b = -1,\ c = \frac{1}{2}$がわかる。点$P$と平面$\alpha$との距離は$$\frac{|a\cdot1+b\cdot1+c\cdot1-1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{1}{3}$$である。平面$\alpha$に垂直なベクトルは$(a,\ b,\ c) = \left(1,\ -1,\ \frac{1}{2}\right)$である。

$$\overrightarrow{OP} \pm \frac{\left(a,\ b,\ c\right)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot \frac{1}{3} = (1,\ 1,\ 1)\pm \frac{2}{3}\left(1,\ -1,\ \frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{3} $$
$$ = \left(\frac{11}{9},\ \frac{7}{9},\ \frac{10}{9}\right),\ \left(\frac{7}{9},\ \frac{11}{9},\ \frac{8}{9}\right)$$である。このうち、平面$\alpha$上にある（$ax+by+cz=1$を満たす）のは$\left(\frac{11}{9},\ \frac{7}{9},\ \frac{10}{9}\right)$である。なので、$P$から$\alpha$に向かう単位ベクトルは$$+\frac{(a,\ b,\ c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

である。求める点$Q$の座標は、$$\vec{OP} +\frac{(a,\ b,\ c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot \frac{2}{3} = (1,\ 1,\ 1) + \frac{2}{3}\left(1,\ -1,\ \frac{1}{2}\right)\cdot \frac{2}{3}$$ $$\left(\frac{13}{9},\ \frac{5}{9},\ \frac{11}{9}\right)$$となる。答えは

$${\frac{1}{9}\left(13,\ 5,\ 11\right)}$$

となる。

問2

$n \geq 4$の時、$n-1$回目までに赤玉は出ず、白、青、黄玉が全て出ていなければならない。

白、青、黄玉の出方は$3^{n-1}$通りであるが、このうち$1$種類だけしか出ない出方が$_{3}C_{1}\cdot1^{n-1} = 3$通り、$2$種類だけしか出ない出方が$_{3}C_{2}\cdot (2^{n-1}-2) = 3\cdot 2^{n-1}-6$通りある。

したがって$n-1$回目までに白、青、黄玉が全て出ているのは$$3^{n-1}-3-(3\cdot2^{n-1}-6) = 3^{n-1}-3\cdot2^{n-1}+3$$通りである。最後の$n$回目に赤玉が出るから、求める確率は

$$\frac{3^{n-1}-3\cdot2^{n-1}+3}{4^n}$$

である。