問題
次の積分を計算せよ。$$\iiint_{D} x y z d x d y d z$$ただし、\(D=\{(x, y, z)\in \mathbb{R} |x^2+y^2+z^2 \leq 1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\}\)とする。
方針
逐次積分でも極座標変換でも良い。
解答
求める積分を\(S\)と置く。\(S =\iint x y d x d y\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} z d z\)
$$
=\frac{1}{2} \iint x y\left(1-x^{2}-y^{2}\right) d x d y
$$
$$=\frac{1}{2} \int x d x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} y\left(1-x^{2}-y^{2}\right) dy$$
となる。まず\(y\)の積分を計算すると、$$\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} y\left\langle\left(1-x^{2}\right)-y^{2}\right\rangle d y$$
$$=-\frac{\left(1-x^{2}\right)^{2}}{4}+\frac{\left(1-x^{2}\right)}{2}\left(1-x^{2}\right)$$
$$=\frac{1}{4}\left(1-x^{2}\right)^{2}$$
であるから、
$$S=\frac{1}{8} \int_{0}^{1} x\left(1-x^{2}\right)^{2} d x$$
$$8S=\int_{0}^{1} x\left(x^{4}-2 x^{2}+1\right) d x$$
$$=\int_{0}^{1}\left(x^{5}-2 x^{3}+x\right) d x$$
$$=\left(\frac{1}{6}-\frac{2}{4}+\frac{1}{2}\right)$$
$$=\frac{1}{6}$$
である。したがって求める積分の値は
$$\frac{1}{48}$$
となる。
別解
$$x= r\sin \theta \cos \phi, y=r\sin \theta \sin \phi, z=r\cos \theta$$と置く。\(x, y, z\)はいずれも正なので、\(0 \leq \theta, \phi \leq \frac{\pi}{2}\)である。
$$d x d y d z=r^{2} \sin \theta d r d \theta d \phi$$である。これより、
$$S=\iiint r^{5} \sin ^{3} \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi d r d \theta d \phi$$である。
\(r\)の積分は\(\frac{1}{6}\)、\(\theta\)の積分は$$\left[\frac{\sin ^{4} \theta}{4}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{4}$$であり、\(\phi\)の積分は$$\left[\frac{\sin ^{2} \phi}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}$$だから、求める積分の値は
$$\frac{1}{48}$$
である。
関連リンク
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