[math]2001年度京都大学前期数学理系問題6

問題

次の極限値を求めよ。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{n\pi }{e}^{-x}|\sin nx|dx$$ ($35$点)

方針

定石があるので、それに従う。

解答

$nx=t$と置く。積分部分は、

$$={\int }_0^{n^2\pi }{e}^{-\frac{t}{n}}|\sin t|\frac{dt}{n}$$となる。絶対値を外すため、区間を$i\pi \le t\le (i+1)\pi$に分ける。ただし、$i=0,1,\cdots ,n^2-1$である。すると、

$$=\frac{1}{n}\sum {\int }_{i\pi }^{(i+1)\pi }{e}^{-\frac{t}{n}}|\sin t|dt$$となる。区間内では正負は一定なので、この絶対値は外せて、$$={(-1)}^i\frac{1}{n}\sum {\int }_{i\pi }^{(i+1)\pi }{e}^{-\frac{t}{n}}\sin tdt$$となる。

$$\int e^{-\frac{t}{n}}\sin tdt$$を求める。また、$$\int e^{-\frac{t}{n}}\cos tdt$$も持ち出しておく。

$${(e^{-\frac{t}{n}}\sin t)}^{\prime }=-\frac{1}{n}{e}^{-\frac{t}{n}}\sin t+e^{-\frac{t}{n}}\cos t$$

$${(e^{-\frac{t}{n}}\cos t)}^{\prime }=-\frac{1}{n}{e}^{-\frac{t}{n}}\cos t-e^{-\frac{t}{n}}\sin t$$

上の式に$\frac{1}{n}$を掛けたものと下の式を足すと、

$$\frac{1}{n}{(e^{-\frac{t}{n}}\sin t)}^{\prime }+{(e^{-\frac{t}{n}}\cos t)}^{\prime }=-\frac{1}{n^2}{e}^{-\frac{t}{n}}\sin t-e^{-\frac{t}{n}}\sin t$$変形して、

$$e^{-\frac{t}{n}}\sin t=-\frac{n^2}{n^2+1}\{\frac{1}{n}{(e^{-\frac{t}{n}}\sin t)}^{\prime }+{(e^{-\frac{t}{n}}\cos t)}^{\prime }\}$$

これは簡単に積分できて、$$\int e^{-\frac{t}{n}}\sin tdt=-\frac{n^2}{n^2+1}\{\frac{1}{n}(e^{-\frac{t}{n}}\sin t)+(e^{-\frac{t}{n}}\cos t)\}$$になる。$i\pi \le t\le (i+1)\pi$で定積分して、

$${(-1)}^i\frac{1}{n}{\int }_{i\pi }^{(i+1)\pi }{e}^{-\frac{t}{n}}\sin tdt=\frac{(-1{)}^{i+1}n}{n^2+1}\{e^{-\frac{(i+1)\pi }{n}}(-1{)}^{(i+1)}-e^{-\frac{i\pi }{n}}(-1{)}^{(i)}\}$$

$$=\frac{n}{n^2+1}(e^{-\frac{(i+1)\pi }{n}}+e^{-\frac{i\pi }{n}})$$となる。簡単のために$s=e^{-\frac{\pi }{n}}$と置くと、

$$=\frac{n}{n^2+1}{s}^i(s+1)$$となる。

$i=0,1,\cdots ,n^2-1$として足すと、$$=\frac{n(s+1)}{n^2+1}\times \frac{1-s^{n^2}}{1-s}$$

$$=\frac{n}{n^2+1}\frac{1+e^{-\frac{\pi }{n}}}{1-e^{-\frac{\pi }{n}}}\times (1-e^{-n\pi })$$

$$=\frac{n}{n^2+1}\frac{e^{\frac{\pi }{n}}+1}{e^{\frac{\pi }{n}}-1}\times (1-e^{-n\pi })$$

となる。$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\pi }{n}-0}{e^{\frac{\pi }{n}-1}}={(e^x)}_{|x=0}^{\prime }=1$$であるから、求める極限は

$$=\frac{n^2}{n^2+1}\cdot \frac{\frac{\pi }{n}}{e^{\frac{\pi }{n}}-1}\cdot (e^{\frac{\pi }{n}}+1)\cdot (1-e^{-n\pi })\cdot \frac{1}{\pi }$$

$$\to 1\cdot 1\cdot (1+1)\cdot (1-0)\cdot \frac{1}{\pi }$$

$$=\frac{2}{\pi }$$

が求める極限の値となる。

関連問題

1984年東京工業大学数学問題4 絶対値付き関数の定積分
1994年東京工業大学数学問題3 絶対値のついた積分と極限

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