[math]2001年度京都大学前期数学理系問題6

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2022.05.202021.09.21

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問題

次の極限値を求めよ。

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n \pi} e^{-x}|\sin n x| d x$$ ($35$点)

方針

定石があるので、それに従う。

解答

$nx=t$と置く。積分部分は、

$$=\int_{0}^{n^2\pi}{e^{-\frac{t}{n}}|\sin{t}|\frac{dt}{n}}$$となる。絶対値を外すため、区間を$i\pi\leq t\leq (i+1)\pi$に分ける。ただし、$i=0, 1, \cdots, n^2-1$である。すると、

$$=\frac{1}{n}\sum \int_{i\pi}^{(i+1)\pi}{e^{-\frac{t}{n}}|\sin{t}|dt}$$となる。区間内では正負は一定なので、この絶対値は外せて、$$ = {(-1)}^{i} \frac{1}{n} \sum \int_{i\pi}^{(i+1)\pi}{e^{-\frac{t}{n}}\sin{t}dt}$$となる。

$$\int e^{-\frac{t}{n}} \sin t d t$$を求める。また、$$\int e^{-\frac{t}{n}} \cos t d t$$も持ち出しておく。

$$\left(e^{-\frac{t}{n}} \sin t\right)^{\prime}=-\frac{1}{n} e^{-\frac{t}{n}} \sin t+e^{-\frac{t}{n}} \cos t$$

$$\left(e^{-\frac{t}{n}} \cos t\right)^{\prime}=-\frac{1}{n} e^{-\frac{t}{n}} \cos t-e^{-\frac{t}{n}} \sin t$$

上の式に$\frac{1}{n}$を掛けたものと下の式を足すと、

$$\frac{1}{n}\left(e^{-\frac{t}{n}} \sin t\right)^{\prime}+\left(e^{-\frac{t}{n}} \cos t\right)^{\prime}=-\frac{1}{n^2} e^{-\frac{t}{n}} \sin t-e^{-\frac{t}{n}} \sin t$$変形して、

$$e^{-\frac{t}{n}} \sin t=-\frac{n^2}{n^2+1}\{\frac{1}{n}\left(e^{-\frac{t}{n}} \sin t\right)^{\prime}+\left(e^{-\frac{t}{n}} \cos t\right)^{\prime}\}$$

これは簡単に積分できて、$$\int e^{-\frac{t}{n}} \sin t d t=-\frac{n^2}{n^2+1}\{\frac{1}{n}\left(e^{-\frac{t}{n}} \sin t\right)+\left(e^{-\frac{t}{n}} \cos t\right)\}$$になる。$i\pi\leq t\leq (i+1)\pi$で定積分して、

$${(-1)}^{i}\frac{1}{n}\int_{i\pi}^{(i+1)\pi}{e^{-\frac{t}{n}} \sin{t} dt} = \frac{(-1)^{i+1} n}{n^2+1}\left\{e^{-\frac{(i+1)\pi}{n} } {(-1)^{(i+1)}}-e^{-\frac{i \pi}{n}} (-1)^{(i)} \right\}$$

$$=\frac{n}{n^2+1}(e^{-\frac{(i+1) \pi}{n}} +e^{-\frac{i \pi}{n}} )$$となる。簡単のために$s = e^{-\frac{ \pi}{n}}$と置くと、

$$ = \frac{n}{n^2+1}s^i(s+1)$$となる。

$i=0, 1, \cdots, n^2-1$として足すと、$$=\frac{n(s+1)}{n^2+1} \times \frac{1-s^{n^2}}{1-s}$$

$$ = \frac{n}{n^2+1}\frac{1+e^{-\frac{\pi}{n}}}{1-e^{-\frac{\pi}{n}}}\times (1-e^{-n \pi})$$

$$ = \frac{n}{n^2+1}\frac{e^{\frac{\pi}{n}}+1}{e^{\frac{\pi}{n}}-1}\times (1-e^{-n \pi})$$

となる。$$\lim_{n \to \infty}{\frac{\frac{\pi}{n}-0}{e^{\frac{\pi}{n}-1}}} = {(e^x)}^{\prime}_{|x = 0} = 1$$であるから、求める極限は

$$ = \frac{n^2}{n^2+1}\cdot \frac{\frac{\pi}{n}}{e^{\frac{\pi}{n}}-1}\cdot (e^{\frac{\pi}{n}}+1)\cdot (1-e^{-n \pi})\cdot \frac{1}{\pi}$$

$$\to 1\cdot 1\cdot (1+1)\cdot (1-0)\cdot\frac{1}{\pi}$$

$$=\frac{2}{\pi}$$

が求める極限の値となる。