[math]1998年東京大学前期理系数学問題4

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2022.05.202021.09.26

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問題

実数$a$に対して$k \leq a \leq k+1$を満たす整数$k$を$[a]$で表す。$n$を正の整数として、$$f(x)= \frac{x^2 (2\cdot 3^3 \cdot n-x)}{2^5\cdot 3^3 \cdot n^2}$$とおく。$36n+1$個の整数$$[f(0)], [f(1)], [f(2)], \cdots, [f(36n)]$$のうち相異なるものの個数を$n$を用いて表わせ。

方針

$f(n+1)-f(n)$が$1$よりも大きければ、$[f(n)]$と$[f(n+1)]$は異なる値になり、$1$よりも小さければ、整数として同じ値になる。

解答

$$f^{\prime}(x) = \frac{x(2^2\cdot 3^2 \cdot n -x)}{2^5\cdot 3^2 \cdot n^2}$$となる。$f(x)$の増減は以下のようになる。

$x$		$0$		$36n$
$f^{\prime}(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$27n$	$\searrow$

$f(x)$の増減表

平均値の定理から、$$f(n+1)-f(n) = f^{\prime}(c)$$を満たす実数$c (n\leq c\leq n+1)$が存在する。$f^{\prime}(x)$は$x$の$2$次関数で、$x = 12n, 24n$の時に$f^{\prime}(x) = 1$となる。つまり、

$0\leq x\leq 12n$の時は、$f^{\prime}(x) < 1$なので、$$[f(0)] = 0, [f(1)], \cdots, [f(12n)] = 7n$$の中には重複しているものがあり、$0, 1, \cdots, 7n$の$7n+1$個の値を取る。
$12n< x < 24n$の時は、$f^{\prime}(x) > 1$なので、$$f(12n+1), f(12n+2), \cdots, f(24n-1)$$はすべて異なる値を取る。したがって、異なる値の個数は$24n-1-(12n+1)+1 = 12n-1$個である。
$24n \leq x \leq 36n$の時は、$f^{\prime}(x) < 1$なので、$$f(24n) = 20n, f(24n+1), \cdots, f(36n) = 27n$$の中には重複しているものがあり、$20n, 20n+1, \cdots, 27n$の$7n+1$個の値を取る。

以上から、求める答えは$2(7n+1)+12n-1 = $

$26n+1$個

となる。