[math]1998年東京大学前期理系数学問題4

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2022.05.202021.09.26

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問題

実数 $a$ に対して $k \leq a \leq k + 1$ を満たす整数 $k$ を $[a]$ で表す。 $n$ を正の整数として、 $f (x) = \frac{x^{2} (2 \cdot 3^{3} \cdot n - x)}{2^{5} \cdot 3^{3} \cdot n^{2}}$ とおく。 $36 n + 1$ 個の整数 $[f (0)], [f (1)], [f (2)], \dots, [f (36 n)]$ のうち相異なるものの個数を $n$ を用いて表わせ。

方針

$f (n + 1) - f (n)$ が $1$ よりも大きければ、 $[f (n)]$ と $[f (n + 1)]$ は異なる値になり、 $1$ よりも小さければ、整数として同じ値になる。

解答

$f^{'} (x) = \frac{x (2^{2} \cdot 3^{2} \cdot n - x)}{2^{5} \cdot 3^{2} \cdot n^{2}}$ となる。 $f (x)$ の増減は以下のようになる。

$x$		$0$		$36 n$
$f^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$↘$	$0$	$↗$	$27 n$	$↘$

f (x)

の増減表

平均値の定理から、 $f (n + 1) - f (n) = f^{'} (c)$ を満たす実数 $c (n \leq c \leq n + 1)$ が存在する。 $f^{'} (x)$ は $x$ の $2$ 次関数で、 $x = 12 n, 24 n$ の時に $f^{'} (x) = 1$ となる。つまり、

$0 \leq x \leq 12 n$ の時は、 $f^{'} (x) < 1$ なので、 $[f (0)] = 0, [f (1)], \dots, [f (12 n)] = 7 n$ の中には重複しているものがあり、 $0, 1, \dots, 7 n$ の $7 n + 1$ 個の値を取る。
$12 n < x < 24 n$ の時は、 $f^{'} (x) > 1$ なので、 $f (12 n + 1), f (12 n + 2), \dots, f (24 n - 1)$ はすべて異なる値を取る。したがって、異なる値の個数は $24 n - 1 - (12 n + 1) + 1 = 12 n - 1$ 個である。
$24 n \leq x \leq 36 n$ の時は、 $f^{'} (x) < 1$ なので、 $f (24 n) = 20 n, f (24 n + 1), \dots, f (36 n) = 27 n$ の中には重複しているものがあり、 $20 n, 20 n + 1, \dots, 27 n$ の $7 n + 1$ 個の値を取る。