[math]1994年東京大学理系数学問題1

問題

$$f(x)=x^4+x^3+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}x+\frac{1}{24}$$$$g(x)=x^5+x^4+\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{6}{x}^2+\frac{1}{24}x+\frac{1}{120}$$とする。このとき、以下のことが成り立つことを示せ。
$(1)$任意の実数$x$に対し、$f(x)>0$である。
$(2)$方程式$g(x)=0$はただひとつの実数解$\alpha$をもち、$-1<\alpha <0$となる。

方針

とりあえず微分してみたくなるが。$(2)$は$(1)$を利用する。

解答

$(1)$$$f(x)=x^2{(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{6}x+\frac{1}{24}$$

$$=x^2{(x+\frac{1}{2})}^2+{(x+\frac{1}{3})}^2+\frac{1}{72}>0$$

$(2)$$x\ne 0$に対して$t=\frac{1}{x}$とすると、$$f(x)=x^4(1+t+\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{6}{t}^3+\frac{1}{24}{t}^4)$$である。かっこの中身を$h(t)=$と置くと、$(1)$から$x\ne 0$の時$f(x)>0$だから、$h(t)>0$でもある。

$g(0)=\frac{1}{120}\ne 0$だから、$$g(x)=x^5(1+t+\frac{1}{2}{t}^2+\frac{1}{6}{t}^3+\frac{1}{24}{t}^4+\frac{1}{120}{t}^5)$$として、かっこの中身を$G(t)$とすると、$$G^{\prime }(t)=h(t)>0$$である。

$G(t)$は$t$に関しての単調増加関数で、$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}G(t)=-\mathrm{\infty }$かつ$G(-1)=\frac{1}{30}$だから、$t<-1$に$G(t)=0$となる$t$が存在する。したがって、$-1<x<0$に$g(x)=0$となる$x$がただひとつ存在する。

解説

$e^x$のTaylor展開を題材にした問題である。実際に上記の$h(t)$を用いて、$p(t)=e^{-t}h(t)$などと置くと、$$p^{\prime }(t)=e^{-t}(h^{\prime }(t)-h(t))$$

$$=-\frac{t^4}{24}{e}^{-t}$$

となり、$p(t)$が単調減少であることが分かる。$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}p(t)=0$であるから、$p(t)>0$がわかり、$h(t)>0$、したがって$f(x)>0$が分かる。

$(2)$は$(1)$を利用すれば良い。一般に、$$f_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}$$と置いた時、$n$が奇数であれば$f_n(x)=0$はただひとつの実数解を持ち、$n$が偶数であれば、$f_n(x)>0$である。証明は、$g_n(x)=e^{-x}{f}_n(x)$と置いて微分すれば簡単である。