問題
\(\alpha, \beta, \gamma\)は\(\alpha >0, \beta > 0, \gamma > 0, \alpha + \beta+\gamma = \pi\)を満たすものとする。このとき、\(\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}\)の最大値を求めよ。
方針
関数の凸性を利用する。積のままでは扱いにくいので、対数を取る。
解答
指定された範囲で、\(\sin{\alpha}, \sin{\beta}, \sin{\gamma}\)はいずれも正になる。\(f(x) = \log{\sin{x}}(0<x<\pi)\)とすると、$$f^{\prime}(x) = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}$$であり、$$f^{\prime\prime}(x) = \frac{-\sin^2{x}-\cos^2{x}}{\sin^2{x}}$$
$$=-\frac{1}{\sin^2{x}} < 0$$である。したがって、\(y=f(x)\)は上に凸な関数であり、$$\frac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3} \leq f\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)$$が成り立つ。\(\alpha+\beta+\gamma=\pi\)であるから、$$\frac{f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)}{3}\leq f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\log{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$が成り立つ。整理すると、$$\log{\sin{\alpha}}+\log{\sin{\beta}}+\log{\sin{\gamma}}\leq \log{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3}$$
$$\log{(\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma})}\leq \log{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3}$$
$$\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}\leq \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$$
である。等号は\(\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3}\)の時に成立する。求める最大値は
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$$
である。
解説
一般に上に凸な関数\(f(x)\)に対して、$$\frac{f(a_1+a_2+\cdots + a_n)}{n}\leq f\left(\frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\right)$$が成り立つ。下に凸な時は不等号の向きが逆になる。帰納法で証明できるが、図を書けばすぐに分かる。
関数が上に凸なので、三角形を考えた時、重心の座標は関数の内部に包まれる形になる。
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