[math]2021年東京大学理系数学問題6

問題

定数\(b, c, p, q, r\)に対し、$$x^4 + bx + c = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$$が\(x\)についての恒等式であるとする。
\((1)\)\(p \ne 0\)であるとき、\(q, r\)を\(p, b\)で表わせ。
\((2)\)\(p \ne 0\)とする。\(b, c\)が定数\(a\)を用いて$$b = (a^2+1)(a+2), \ c = -\left(a+\frac{3}{4}\right)(a^2+1)$$と表されているとき、有理数を係数とする\(t\)についての整式\(f(t)\)と\(g(t)\)で$$\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\} = 0$$を満たすものを\(1\)組求めよ。
\((3)\)\(a\)を整数とする。\(x\)の\(4\)次式$$x^4 + (a^2+1)(a+2)x -\left(a+\frac{3}{4}\right)(a^2+1)$$が有理数を係数とする\(2\)次式の積に因数分解できるよう\(a\)をすべて求めよ。

方針

誘導に従って計算を進める。

解答

$$(x^2 + px + q)(x^2-px+r) = x^4-px^3+rx^2+px^3-p^2x^2+prx+qx^2-pqx+qr$$

$$= x^4 +(-p^2+q+r)x^2+p(-q+r)x+qr$$である。これが\(x^4+bx+c\)に等しいので、

• \(-p^2 + q + r = 0\)
• \(p(-q+r) = b\)
• \(qr = c\)

である。\(p \ne 0\)であるから、$$q + r = p^2$$$$-q + r = \frac{b}{p}$$であり、両式の加減を考えると、

$$q = \frac{1}{2}\left(p^2-\frac{b}{p}\right)$$

、および

$$r = \frac{1}{2}\left(p^2+\frac{b}{p}\right)$$

と表すことができる。

\((2)\)\((1)\)の過程から\(qr = c\)であったから、\(q, r\)を代入して、$$\frac{1}{2}\cdot \frac{p^3-b}{p} \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{p^3+b}{p} = c$$である。少し整理すると、$$p^6-4cp^2-b^2 = 0 \ \ \ (1)$$となる。一方与えられた式\(\{p^2-(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\}\)を展開すると、$$=p^6+f(a)p^4+g(a)p^2-(a^2+1)p^4-f(a)(a^2+1)p^2-g(a)(a^2+1)$$$$=p^6 +{f(a)-(a^2+1)}p^4 + {g(a)-f(a)(a^2+1)}p^2 -g(a)(a^2+1)$$となる。これと\((1)\)式を見比べると、

• \(f(a)-(a^2+1) = 0\)
• \(g(a)-f(a)(a^2+1) = -4c\)
• \(-g(a)(a^2+1) = -b^2\)

とすれば良い。\(b = (a^2+1)(a+2), \ c = -\left(a+\frac{3}{4}\right)(a^2+1)\)を上ふたつの式に代入すると、

$$f(a) = a^2+1$$

および

$$g(a) = (a^2+1)(a+2)^2$$

を得るが、これは一番下の式を満たす。

\((3)\)\(x^2+bx+c\)が\(2\)次式の積に因数分解できるとすると、\(3\)次の係数が\(0\)であることから、$$x^4+bx+c = (x^2+px+q)(x^2-px+r)$$の形になる。\((1), (2)\)では\(p \ne 0\)を仮定していたので、\(p = 0\)の時は調べておく。\(p = 0\)の時は、$$x^4 +bx + c = (x^2+q)(x^2+r)$$$$x^4 + (q+r)x^2 + qr$$となる。係数比較すると、

• \(0 = q+r\)
• \(b = 0\)
• \(c = qr\)

となる。\(b = (a^2+1)(a+2) = 0\)なので、\(a=-2\)でなければならない。この時\(c = \frac{25}{4}\)であり、

• \(q+r = 0\)
• \(qr = c = \frac{25}{4}\)

を満たす有理数\(q, r\)は存在しない。次に\(p\ne 0\)の時を考える。この時は\((1), (2)\)の誘導が使える。\((2)\)で導かれた$${p^2-(a^2+1)}{p^4+f(a)p^2+g(a)} = 0$$を見ると、\(f(a) = a^2 + 1, \ g(a) = (a^2+1)(a+2)^2\)はともに正なので、\(p^4+f(a)p^2+g(a)\)は正である。すると、\(p^2 -(a^2+1) = 0\)となる。\(a \ne 0\)の時\(a^2+1\)は平方数ではないので、\(p\)が有理数になるには\(a=0\)でなければならない。この時\(b = 2, c = -\frac{3}{4}\)となる。こうすると、$$x^4+bx+c = x^4+2x-\frac{3}{4}$$$$=(x^2+x-\frac{1}{2})(x^2-x+\frac{3}{2})$$となり、有理数係数の\(2\)次式に因数分解できる。求める答えは

$$a = 0$$

である。

解説

\((3)\)で\(p=0\)の時は個別に調べる必要がある。