[math]1966年東京工業大学数学第5問

math

2021.11.182021.10.06

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問題

相異なる$3$つの複素数がある。これらのうちから重複を許してとったどの$2$つの積も、これらの$3$数のどれかであるという。$3$数の組を求めよ。

方針

とりあえず文字を置いてみる。

解答

$3$つの複素数を$\alpha, \beta, \gamma$とする。仮にこの中に$0$が含まれるとする。$\gamma = 0$とすると、$\alpha^2=\alpha$あるいは$\alpha^2=\beta$のどちらかである。

$\alpha^2=\alpha$の時、$\alpha=1$である。$\beta^2=\beta$とすると、$\beta=0, 1$となり相異なるという条件に反する。したがって$\beta^2=\alpha=1$であり、$\beta=-1$となる。この$3$組$(0, 1, -1)$は条件を満たす。
$\alpha^2=\beta$の時、$\beta^2=\beta$とすると$\beta=1$となり上と同じなので、$\beta^2=\alpha$となる。すると$\beta^2=\alpha^4=\alpha$となり、$\alpha^3=1$である。$\alpha=1$とすると$\beta=\alpha^2=1$なので、相異なるという条件に矛盾する。よって$\alpha=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$であり、この時$\beta=\frac{-1\mp\sqrt{3}i}{2}$となる。この$3$組$\left(0, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)$は条件を満たさない（$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\cdot \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=1$となるため）。

以下では$3$つの中に$0$は含まれないものとする。

$|\alpha|\ne 1$とすると、与えられた条件から$$\alpha^2, \alpha^3, \alpha^4, \cdots$$はいずれも$3$数のどれかになるが、この絶対値はすべて異なる。したがって、$3$数以上になってしまうので、矛盾となる。したがって$|\alpha|=1$で、同様に$|\beta|, |\gamma|$も$1$になる。与えられた条件から、$\alpha\beta\gamma$は$3$つの中に含まれるから、これが$\alpha$に等しいとして一般性を失わない。$\alpha\beta\gamma=\alpha$だから、$\beta\gamma=1$である。$\beta=1$とすると$\gamma=1$となり、相異なるという条件に反する。したがって$\beta\ne1$であり、同様に$\gamma\ne 1$である。これから$\alpha=1$となる。$3$つの組は$1, \beta, \frac{1}{\beta}$となる。$\beta^2$はこのうちのどれかに等しいが、

$\beta^2=1$とすると、$\beta=1, -1$となるが、どちらも$(\alpha, \beta, \gamma) = (1, 1, 1), (1, -1, -1)$になり、相異なるという条件に反する。
$\beta^2=\beta$とすると、$\beta=1$となり、これも相異なるという条件に反する。
$\beta^2=\frac{1}{\beta}$とすると、$\beta^3=1$となり、$\beta=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$である。この時$\gamma = \frac{1}{\beta}=\frac{-1\mp\sqrt{3}i}{2}$である。この$3$つの組$\left(1, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)$は与えられた条件を満たす。以上から、求める複素数の組は

$(0, 1, -1), \left(1, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)$

である。