[math]2019年東京大学理系数学問題5

問題

以下の問に答えよ。
\((1)\) \(n\)を\(1\)以上の整数とする。\(x\)についての方程式$$x^{2n-1} = \cos{x}$$は、ただ一つの実数解\(a_n\)をもつことを示せ。
\((2)\) \((1)\)で定まる\(a_n\)に対し、\(\cos{a_n} > \cos{1}\)を示せ。
\((3)\) \((1)\)で定まる数列\(a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\)に対し、$$a = \lim_{n\to\infty}{a_n}, b = \lim_{n\to\infty}{{a_n}^n}, c = \lim_{n\to\infty}{\frac{{a_n}^n-b}{a_n-a}}$$を求めよ。

方針

\((1)\)は\(\mid x\mid\)が\(1\)より大きいかどうかで場合分けすると良いが、さらに正か負でも場合分けする必要がある。
\((2)\) \((1)\)の過程から示すことができる。
\((3)\) これは\((2)\)が大きなヒントになる。

解答

\((1)\) \(x >1\)あるいは\(x < -1\)の時は、\(\mid x\mid > 1\)であり、\(\mid \cos{x} \mid \leq1\)であるから、\(x^{2n-1}=\cos{x}\)となることはない。\(-1\leq x\leq 0\)の時は、\(x^{2n-1}<0\)であり、\(-\frac{\pi}{2} < -1 \leq x \leq0\)であるから、\(\cos{x}\geq 0\)となり、これも\(x^{2n-1}=\cos{x}\)となることはない。\(0 \leq x \leq 1\)の時を考える。 \(f(x)= x^{2n-1}-\cos{x}\)とする。\(f^{\prime}(x) = (2n-1)x^{2n-2}+\sin{x}\)であるが、\(0\leq x \leq 1 <\pi\)であるから、\(\sin{x} \geq 0\)であり、\(f^{\prime}(x)\geq 0\)が分かる。したがって\(f(x)\)は区間\([0, 1]\)で増加関数であり、\(f(0) = -1, f(1) = 1-\cos{1} > 0\)であるから、\(f(x) = 0\)は区間\([0, 1]\)にただひとつの実数解を持つ。

\((2)\) \((1)\)の過程から、\(0 < a_n < 1\)であった。\(0 < x < 1 < \frac{\pi}{2}\)で\(\cos{x}\)は減少関数だから、\(\cos{a_n} > \cos{1}\)が成り立つ。

\((3)\) \((1), (2)\)から\(0 < a_n < 1\)であり、\(\cos{a_n} = {a_n}^{2n-1}\)であった。\((2)\)から\(\cos{a_n} > \cos{1}\)であるから、\({a_n}^{2n-1} > \cos{1}\)である。変形して、\(a_n > {(\cos{1})}^{\frac{1}{2n-1}}\)であり、$${(\cos{1})}^{\frac{1}{2n-1}} < a_n < 1$$である。\(n\to\infty\)の時、\({(\cos{1})}^{\frac{1}{2n-1}}\to 1\)であるから、

\(a = 1\)

である。また、\({a_n}^{2n-1} = \cos{a_n}\)を変形して、\({a_n}^n = \sqrt{a_n\cos{a_n}}\)である。\(n\to\infty\)とすると、

\(b = \sqrt{\cos{1}}\)

が分かる。最後に、$$\frac{{a_n}^n-b}{a_n-a}$$ $$ = \frac{\sqrt{a_n\cos{a_n}}-\sqrt{\cos{1}}}{a_n-1}$$ $$= \frac{a_n\cos{a_n}-\cos{1}}{a_n-1}\cdot \frac{1}{\sqrt{a_n\cos{a_n}} + \sqrt{\cos{1}}}$$ $$ = \frac{(a_n-1) \cos{a_n} + \cos{a_n}-\cos{1}}{a_n-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_n\cos{a_n}} + \sqrt{\cos{1}}}$$ $$ = \left(\cos{a_n} + \frac{\cos{a_n}-\cos{1}}{a_n-1}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{a_n\cos{a_n}} + \sqrt{\cos{1}}}$$

である。\(\lim_{n\to\infty}{\frac{\cos{a_n}-\cos{1}}{a_n-1}} = {(\cos{x})}^{\prime}_{x = 1} = -\sin{1}\)であるから、求める極限\(c\)は\(\left(\cos{1}-\sin{1}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{\cos{1}} + \sqrt{\cos{1}}}\)

\(= \frac{\cos{1}-\sin{1}}{2\sqrt{\cos{1}}}\)

となる。

解説

格の高い難問と言える。\((1)\)から躓いた受験生も多かったことだろう。\((1)\)がグラフを描けば明らかだが、それでは点数にならない。とすると場合分けが必要になってくる。
\((2)\)は\((1)\)が解ければなんとかなる。
\((3)\)は\((2)\)をヒントとして利用することに気が付かないといけない。気がついたとしても、\(b, c\)を求めるのは一苦労である。特に\(c\)は不定形を解消しなくてはならず、時間制限のある試験会場では苦労する。解答の式変形は、分母の不定形を解消する方向を目指している。