問題
素数\(p, q\)を用いて$$p^q + q^p$$と表される素数をすべて求めよ。
方針
\(p, q\)が両方奇数ならば、\(p^q + q^p\)は偶数になる。
解答
\(p, q\)が\(2\)以上の素数とすると、\(p^q + q^p\)は\(2\)以上の偶数となり、素数にはならない。\(p, q\)の両方が\(2\)だとすると、\(p^q + q^p =8\)となり、素数ではない。したがって\(p, q\)のどちらか片方が\(2\)になる。\(p^q +q^p\)は対称式なので、\(p=2\)としても良い。この時、\(p^q + q^p = 2^q + q^2\)である。また、\(q\)は\(3\)以上の素数である。
\(q = 3\)の時、$$2^q + q^2 = 17$$は素数である。\(q > 3\)の時、\(q\)は奇数なので、\(q\)を\(3\)で割った余りは\(1\)か\(2\)になる。すると、$$2^q + q^2 \equiv (-1)^q + 1$$ $$ \equiv -1 + 1 \pmod 3$$ $$ \equiv 0 \pmod 3$$となり、これも素数ではない。したがって、求める答えは
\((p, q) = (2, 3), (3, 2)\)
である。
解説
\(q\)が\(3\)以上の素数の時、奇数なので\((-1)^q\)は\(-1\)となり、\(3\)で割った余りは\(-1 \equiv 2\)となる。また、\(q = 3r\pm1\)とすると、\(q^2 = 9r^2+6r+1\)となり、これを\(3\)で割った余りは\(1\)になる。
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