[math]1997年京都大学理系前期問題6

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2021.11.182021.11.02

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問題

曲線$y = \cos{x}$の$x = t \left(0 < t < \frac{\pi}{2}\right)$における接線と$x$軸、$y$軸の囲む三角形の面積を$S(t)$とする。
$(1)$ $t$の関数として$S(t) \left(0 < t < \frac{\pi}{2}\right)$を求めよ。
$(2)$ $S(t)$はある一点$t = t_0$で最小値をとることを示せ。また、$\frac{\pi}{4} < t_0 < 1$を示せ。
$(3)$ $S(t_0) = 2t_0\cos{t_0}$を示せ。また、$S(t_0) > \frac{\sqrt{2}}{4}\pi$を示せ。

方針

要領よく計算しないとなかなか厳しい。

解答

$(1)$ $x = t$における$y = \cos{x}$の接線は$y -\cos{t} = -\sin{t}(x-t)$であるから、$x = 0, y = 0$としてこの接線と$x$軸、$y$軸との交点を求めると、$x = t + \frac{\cos{t}}{\sin{t}}, y = t\sin{t} + \cos{t}$となる。したがって、$$2S(t) = \left(t+\frac{\cos{t}}{\sin{t}}\right)\left(t\sin{t}+\cos{t}\right)$$ $$ = \frac{(t\sin{t}+\cos{t})^2}{\sin{t}}$$となる。よって、

$S(t) = \frac{(t\sin{t}+\cos{t})^2}{2\sin{t}}$

である。

$(2)$ $(1)$から、$$S^{\prime}(t) = \frac{f(t)}{2\sin^2{t}}$$となる。ただし、$$f(t) = 2(\sin{t}+t\cos{t}-\sin{t})(t\sin{t}+\cos{t})\sin{t}-\cos{t}(t\sin{t}+\cos{t})^2$$である。整理すると、$$f(t) = \cos{t}(t\sin{t}+\cos{t})(2t\sin{t}-(t\sin{t}+\cos{t}))$$ $$ = \cos{t}(t\sin{t}+\cos{t})(t\sin{t}-\cos{t})$$である。このうち、$\cos{t}, t\sin{t}+\cos{t}$は$0<t < \frac{\pi}{2}$において正である。$g(t) = t\sin{t}-\cos{t}$とすると、$$g^{\prime}(t) = 2\sin{t}+t\cos{t}$$となり、$0 < t < \frac{\pi}{2}$で$g^{\prime}(t) > 0$となる。$g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} < 0, g\left(1\right) = \sin{1}-\cos{1} > 0$だから、$\frac{\pi}{4} < t < 1$に$g(t_0) = 0$となる$t_0$が存在し、その前後で$g(t)$は符号を負から正に変える。すなわち、$t = t_0$で$f(x)$も符号を負から正に変える。したがって、$S(t)$は$t = t_0$で最小値をとり、$\frac{\pi}{4} < t_0 < 1$である。

$(3)$ $(2)$から$g(t_0) = t_0\sin{t_0}-\cos{t_0} = 0$である。したがって、$$S(t_0) = \frac{(t_0\sin{t_0} + \cos{t_0})^2}{2\sin{t_0}}$$ $$ = 2t_0^2\sin{t_0}$$ $$ = 2t_0\cos{t_0}$$となる。また、$h(t) = t\cos{t}$と置くと、$$h^{\prime}(t) = \cos{t}-t\sin{t}$$となるが、これは$-g(t)$である。$-g(t)$は$t = t_0$で符号を正から負に変えるから、$S(t_0) > 2h\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi$が分かる。