[math]1991年京都大学前期文系数学問題4

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2022.05.202021.11.15

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問題

実数 $p, q$ に対し、 $x^{3} - p x + q = 0$ の解がすべて実数なら（すなわち虚数解を持たないなら） $x^{3} - 2 p x^{2} + p^{2} x - q^{2} = 0$ の解もすべて実数であることを示せ（ $30$ 点）。

方針

解と係数の関係式を用いる。

解答

$x^{3} - p x + q = 0$ の $3$ つの実数解を $α, β, γ$ とすると、 $α + β + γ = 0$ $α β + β γ + γ α = - p$ $α β γ = - q$ となる。これから、 $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α) = 2 p$ $α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2} = (α β + β γ + γ α)^{2} - 2 α β γ (α + β + γ)$ $= p^{2}$ $α^{2} β^{2} γ = q^{2}$ となる。したがって、 $α^{2}, β^{2}, γ^{2}$ が $x^{3} - 2 p x^{2} + p^{2} x - q^{2} = 0$ の解であり、これは実数である。

解説

$3$ 次方程式 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ の $3$ つの解を $α, β, γ$ とすると、 $α + β + γ = - a$ $α β + β γ + γ α = b$ $α β γ = - c$ となる。これは暗記する必要はなく、 $(x - α) (x - β) (x - γ) = (x^{2} - β x - α x + α β) (x - γ)$ $= x^{3} - (α + β + γ) x^{2} + (α β + β γ + γ α) x - α β γ$ と展開して、 $x^{3} + a x^{2} + b x + c$ と見比べれば良い。
解答の $α^{2}$ を $x^{3} - 2 p x^{2} + p^{2} x - q^{2} = 0$ に代入し、 $0$ になることを示すこともできるが、これだと $α^{2}, β^{2}, γ^{2}$ の中に等しいものがある場合などややこしくなるので、解答のように対称性を保ったまま話を進めるのが良い。