[math]2002年京都大学理系数学第4問

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問題

$(1)$ $x \geq 0$で定義された関数$f(x) = \log(x + \sqrt{1+x^2})$について、導関数$f^{\prime}(x)$を求めよ。
$(2)$ 極方程式$r = \theta\ (\theta \geq 0)$で定義される曲線の、$0\leq \theta\leq \pi$の部分の長さを求めよ。

方針

$(1)$ は単なる計算である。
$(2)$ は$(1)$の利用を考える。

解答

$(1)$ $$f^{\prime}(x) = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$$ $$ = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$となる。

$(2)$ $\frac{d\theta}{dr} = 1$であるから、求める曲線の長さを$l$とすると、$$l = \int_{0}^{\pi}{\sqrt{1+{\theta}^2}d\theta}$$ $$ = \int_{0}^{\pi}{(\theta)^{\prime}\sqrt{1+{\theta}^2}d\theta}$$ $$ = \left[\theta\sqrt{1+{\theta}^2}\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}{\frac{{\theta}^2}{\sqrt{1+{\theta}^2}}d\theta}$$ $$ = \pi\sqrt{1+{\pi}^2} – \int_{0}^{\pi}{\frac{1+{\theta}^2-1}{\sqrt{1+{\theta}^2}}d\theta}$$ $$ = \pi\sqrt{1+{\pi}^2} -\int_{0}^{\pi}{\sqrt{1+{\theta}^2}d\theta}+\int_{0}^{\pi}{\frac{d\theta}{\sqrt{1+{\theta}^2}}}$$ $$ = \pi\sqrt{1+{\pi}^2} – l + \left[\log{(1+\sqrt{1+{\theta}^2)}}\right]_{0}^{\pi}$$ $$ = \pi\sqrt{1+{\pi}^2}-l + \log{(\pi+\sqrt{1+{\pi}^2})}$$である。よって、

$l = \frac{1}{2}(\pi\sqrt{1+{\pi}^2} + \log{(\pi+\sqrt{1+{\pi}^2})})$

となる。

解説

パラメータ$t$を使って$(x, y) = (p(t), q(t))$と表される曲線の長さは$$\int_{a}^{b}{\sqrt{\{{p^{\prime}(t)}\}^2 + {\{q^{\prime}(t)}\}^2}dt}$$と表される。極方程式については$x=r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}$が基本で、曲線の長さもこの関係式から導かれる。一般に$r=f(\theta)$で表される極方程式の曲線の長さは$$\int_{a}^{b}{\sqrt{{\{f(\theta)\}}^2+{\{f^{\prime}(\theta)\}}^2}d\theta}$$である。なぜなら、$x = r\cos{\theta} = f(\theta)\cos{\theta}$を$\theta$で微分して、$$\frac{dx}{d\theta} = f^{\prime}(\theta)\cos{\theta}-f(\theta)\sin{\theta}$$であり、$y = r\sin{\theta} = f(\theta)\sin{\theta}$を$\theta$で微分して、$$\frac{dy}{d\theta} = f^{\prime}(\theta)\sin{\theta}+f(\theta)\cos{\theta}$$となり、$$\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2$$を計算すると根号の中になるという訳である。一度理解してしまえば大した話ではないが、知らないと難しい。問題の積分は有名積分で、大学の解析で学習する。この積分の知識があれば、楽に解ける大学入試問題というのは数多くある。途中で$(1)$を使うことが出来るのに気がつくが、少し使いにくい。