問題
\((1)\) \(x \geq 0\)で定義された関数\(f(x) = \log(x + \sqrt{1+x^2})\)について、導関数\(f^{\prime}(x)\)を求めよ。
\((2)\) 極方程式\(r = \theta\ (\theta \geq 0)\)で定義される曲線の、\(0\leq \theta\leq \pi\)の部分の長さを求めよ。
方針
\((1)\) は単なる計算である。
\((2)\) は\((1)\)の利用を考える。
解答
\((1)\) $$f^{\prime}(x) = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$$ $$ = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$となる。
\((2)\) \(\frac{d\theta}{dr} = 1\)であるから、求める曲線の長さを\(l\)とすると、$$l = \int_{0}^{\pi}{\sqrt{1+{\theta}^2}d\theta}$$ $$ = \int_{0}^{\pi}{(\theta)^{\prime}\sqrt{1+{\theta}^2}d\theta}$$ $$ = \left[\theta\sqrt{1+{\theta}^2}\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}{\frac{{\theta}^2}{\sqrt{1+{\theta}^2}}d\theta}$$ $$ = \pi\sqrt{1+{\pi}^2} – \int_{0}^{\pi}{\frac{1+{\theta}^2-1}{\sqrt{1+{\theta}^2}}d\theta}$$ $$ = \pi\sqrt{1+{\pi}^2} -\int_{0}^{\pi}{\sqrt{1+{\theta}^2}d\theta}+\int_{0}^{\pi}{\frac{d\theta}{\sqrt{1+{\theta}^2}}}$$ $$ = \pi\sqrt{1+{\pi}^2} – l + \left[\log{(1+\sqrt{1+{\theta}^2)}}\right]_{0}^{\pi}$$ $$ = \pi\sqrt{1+{\pi}^2}-l + \log{(\pi+\sqrt{1+{\pi}^2})}$$である。よって、
\(l = \frac{1}{2}(\pi\sqrt{1+{\pi}^2} + \log{(\pi+\sqrt{1+{\pi}^2})})\)
となる。
解説
パラメータ\(t\)を使って\((x, y) = (p(t), q(t))\)と表される曲線の長さは$$\int_{a}^{b}{\sqrt{\{{p^{\prime}(t)}\}^2 + {\{q^{\prime}(t)}\}^2}dt}$$と表される。極方程式については\(x=r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}\)が基本で、曲線の長さもこの関係式から導かれる。一般に\(r=f(\theta)\)で表される極方程式の曲線の長さは$$\int_{a}^{b}{\sqrt{{\{f(\theta)\}}^2+{\{f^{\prime}(\theta)\}}^2}d\theta}$$である。なぜなら、\(x = r\cos{\theta} = f(\theta)\cos{\theta}\)を\(\theta\)で微分して、$$\frac{dx}{d\theta} = f^{\prime}(\theta)\cos{\theta}-f(\theta)\sin{\theta}$$であり、\(y = r\sin{\theta} = f(\theta)\sin{\theta}\)を\(\theta\)で微分して、$$\frac{dy}{d\theta} = f^{\prime}(\theta)\sin{\theta}+f(\theta)\cos{\theta}$$となり、$$\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2$$を計算すると根号の中になるという訳である。一度理解してしまえば大した話ではないが、知らないと難しい。問題の積分は有名積分で、大学の解析で学習する。この積分の知識があれば、楽に解ける大学入試問題というのは数多くある。途中で\((1)\)を使うことが出来るのに気がつくが、少し使いにくい。
関連問題
1972年東京医科歯科大学数学問題 部分積分法と積分の漸化式
2001年度防衛医科大学校数学問題2 抽象関数と積分
2006年度防衛医科大学校数学問題4 抽象関数と微分積分、Taylor展開
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