[math]1983年東京大学理系数学第6問

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問題

放物線$y = \frac{3}{4}-x^2$を$y$軸のまわりに回転して得られる曲面$K$を、原点を通り回転軸と$45^\circ$の角をなす平面$H$で切る。曲面$K$と平面$H$で囲まれた立体の体積を求めよ。

方針

立体の問題で重要なことは、まず可能な限り立体の方程式を求めることである。方程式が求まれば、適当な平面で切ってから、面積を求め、順に体積を求めれば良い。具体的には$x=t$、あるいは$y=t$などと置き、平面の面積の問題に落としてから、それを$t$について積分する。

解答

曲面$K$上の点$x, y, z$について、$y$軸からの距離は$\sqrt{x^2+z^2}$となる。これが$\sqrt{\frac{3}{4}-y}$と等しいから、$K$の方程式は$$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{\frac{3}{4}-y}$$となる。二乗して整理すると、$y = \frac{3}{4}-x^2-z^2$である。

一方、平面$H$の方程式は$y = x$である。$x=t$で$K$と$H$を切った切り口は、それぞれ$y = \frac{3}{4}-t^2-z^2$と$y = t$である。この切り口が共通部分を持つのは、$t = \frac{3}{4}-t^2-z^2$を満たす実数$z$が存在する時で、$z^2 = -\frac{(2t-1)(2t+3)}{4}$であるから、$-\frac{3}{2}\leq t\leq \frac{1}{2}$である。$yz$平面にこれを図示すると、次のようになる。

斜線部の面積を$S(t)$とすると、$$S(t) = 2\int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{4}-t^2-t}}{\left(\frac{3}{4}-t^2-z^2-t\right)dz}$$ $$ = 2\left(\frac{3}{4}-t^2-t\right)\sqrt{\frac{3}{4}-t^2-t}-\frac{2}{3}[z^3]_{0}^{\sqrt{\frac{3}{4}-t^2-t}}$$ $$ = 2\left(\frac{3}{4}-t^2-t\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\left(\frac{3}{4}-t^2-t\right)^{\frac{3}{2}}$$ $$ = \frac{4}{3}\left(\frac{3}{4}-t^2-t\right)^{\frac{3}{2}}$$となる。後の積分のために、ルートの中身を平方完成すると、$-\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+1 $となる。以上から求める体積は、$$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}{S(t)dt} = \frac{4}{3}\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left\{-\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+1\right\}^{\frac{3}{2}}dt}$$ $$ = \frac{4}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(-\sin^2{\theta}+1)^{\frac{3}{2}}\cos{\theta}d \theta}$$となる。ただし、$t + \frac{1}{2} = \sin{\theta}$と置換した。計算を続けると、$$ = \frac{4}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^4{\theta}d\theta} = \frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^4{\theta}d\theta}$$となる。この積分を求めるため、$a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^n{\theta}d\theta}$とする。$a_0 = \frac{\pi}{2}$であり、$$a_{n+2} = [\sin{\theta}\cos^{n+1}{\theta}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\theta}\cdot (n+1)\cos^{n}{\theta}(-\sin{\theta})d\theta}$$ $$ = (n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(1-\cos^2{\theta})\cos^{n}{\theta}}$$ $$ = (n+1)(a_n-a_{n+2})$$となる。したがって、$a_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}a_n$となる。これから、$a_4 = \frac{3}{4}a_2 = \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}a_0 = \frac{3}{8}a_0$となるから、求める体積は$\frac{8}{3}a_4 = a_0 = \frac{\pi}{2}$となる。