[math]1983年東京大学理系数学第6問

問題

放物線\(y = \frac{3}{4}-x^2\)を\(y\)軸のまわりに回転して得られる曲面\(K\)を、原点を通り回転軸と\(45^\circ\)の角をなす平面\(H\)で切る。曲面\(K\)と平面\(H\)で囲まれた立体の体積を求めよ。

方針

立体の問題で重要なことは、まず可能な限り立体の方程式を求めることである。方程式が求まれば、適当な平面で切ってから、面積を求め、順に体積を求めれば良い。具体的には\(x=t\)、あるいは\(y=t\)などと置き、平面の面積の問題に落としてから、それを\(t\)について積分する。

解答

曲面\(K\)上の点\(x, y, z\)について、\(y\)軸からの距離は\(\sqrt{x^2+z^2}\)となる。これが\(\sqrt{\frac{3}{4}-y}\)と等しいから、\(K\)の方程式は$$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{\frac{3}{4}-y}$$となる。二乗して整理すると、\(y = \frac{3}{4}-x^2-z^2\)である。

一方、平面\(H\)の方程式は\(y = x\)である。\(x=t\)で\(K\)と\(H\)を切った切り口は、それぞれ\(y = \frac{3}{4}-t^2-z^2\)と\(y = t\)である。この切り口が共通部分を持つのは、\(t = \frac{3}{4}-t^2-z^2\)を満たす実数\(z\)が存在する時で、\(z^2 = -\frac{(2t-1)(2t+3)}{4}\)であるから、\(-\frac{3}{2}\leq t\leq \frac{1}{2}\)である。\(yz\)平面にこれを図示すると、次のようになる。

斜線部の面積を\(S(t)\)とすると、$$S(t) = 2\int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{4}-t^2-t}}{\left(\frac{3}{4}-t^2-z^2-t\right)dz}$$ $$ = 2\left(\frac{3}{4}-t^2-t\right)\sqrt{\frac{3}{4}-t^2-t}-\frac{2}{3}[z^3]_{0}^{\sqrt{\frac{3}{4}-t^2-t}}$$ $$ = 2\left(\frac{3}{4}-t^2-t\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\left(\frac{3}{4}-t^2-t\right)^{\frac{3}{2}}$$ $$ = \frac{4}{3}\left(\frac{3}{4}-t^2-t\right)^{\frac{3}{2}}$$となる。後の積分のために、ルートの中身を平方完成すると、\(-\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+1 \)となる。以上から求める体積は、$$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}{S(t)dt} = \frac{4}{3}\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left\{-\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+1\right\}^{\frac{3}{2}}dt}$$ $$ = \frac{4}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(-\sin^2{\theta}+1)^{\frac{3}{2}}\cos{\theta}d \theta}$$となる。ただし、\(t + \frac{1}{2} = \sin{\theta}\)と置換した。 計算を続けると、$$ = \frac{4}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^4{\theta}d\theta} = \frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^4{\theta}d\theta}$$となる。この積分を求めるため、\(a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^n{\theta}d\theta}\)とする。\(a_0 = \frac{\pi}{2}\)であり、$$a_{n+2} = [\sin{\theta}\cos^{n+1}{\theta}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{\theta}\cdot (n+1)\cos^{n}{\theta}(-\sin{\theta})d\theta}$$ $$ = (n+1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(1-\cos^2{\theta})\cos^{n}{\theta}}$$ $$ = (n+1)(a_n-a_{n+2})$$となる。したがって、\(a_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}a_n\)となる。これから、\(a_4 = \frac{3}{4}a_2 = \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}a_0 = \frac{3}{8}a_0\)となるから、求める体積は\(\frac{8}{3}a_4 = a_0 = \frac{\pi}{2}\)となる。

解説

\(y\)軸に平行で高さが\(y\)の平面で曲面\(K\)を切ると切り口は円で、その半径は\(x = \sqrt{\frac{4}{3}-y}\)となる。円の方程式を考えることで、曲面\(K\)の方程式を得る。これは方程式や作り方を暗記する必要は全くなく、その都度冷静に考えれば良い。

そこから求積だが、図形の形状が把握しにくい問題の場合、一文字を変数にして、立体の切り口を考えるのが鉄則である。曲面\(K\)と平面\(H\)の方程式を求め、\(x,y,z\)のうちどれかを変数にし切り口を考える。色々試してみると、\(x\)で切るのが図も簡単に書け良さそうである。

\(S(t)\)を求めるは何が変数で何が定数と見なせるか、注意する。この場合\(z\)での積分で、\(t\)は定数と見なせる。\(S(t)\)を計算すると、\(\cos^4{\theta}\)の積分が現れる。これは有名積分で、解答のように部分積分を用い、漸化式を立てて順次求めれば良い。