問題
\(\{a_n\}\)を正の数からなる数列とし、\(p\)を正の実数とする。このとき$$a_{n+1} > \frac{1}{2}a_n-p$$をみたす番号\(n\)が存在することを証明せよ。
方針
漸化式を解くような感じで不等式を変形する。
解答
背理法で示す。すべての\(n\)について$$a_{n+1} \leq \frac{1}{2}a_n-p$$が成り立つと仮定する。この式を変形すると、$$a_{n+1}+2p \leq \frac{1}{2}(a_n + 2p)$$となる。これを繰り返し用いると、$$a_n+2p \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(a_1+2p)$$となる。数列\(\{a_n\}\)は正で、\(p\)も正の実数だから、\(0 < \epsilon < 2p\)を満たす十分に小さい実数\(\epsilon\)が存在し、\(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(a_1+2p) < \epsilon\)とすることが出来る。この時、\(a_n < \epsilon -2p < 0\)となり、\(\{a_n\}\)が正の数であることに反する。したがって、ある番号\(n\)があって、\(a_{n+1}> \frac{1}{2}a_n-p\)が成り立つ。
解説
背理法で示す。問題では「ある番号\(n\)」について題意の不等式が成り立つようなものが存在することを示せ、と言っているから、背理法を用いるならば、「すべての番号\(n\)」について、題意の不等式が成り立たないことを仮定しなければならない。その後は、普通に二項間漸化式\(a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n-p\)を解くときのように、与えられた漸化式の特性方程式である\(\alpha = \frac{1}{2}\alpha-p\)を満たす\(\alpha\)を求める。これが解答の\(-2p\)である。後も二項間漸化式を解くときと同様に、\(a_n\)と定数である\(a_1\)とだけの関係式を求める。ここから先が少し難しいが、十分大きい\(n\)に対して求めた関係式の右辺が\(0\)に近づくことに気がつけば先が見える。\(a_n+2p\)が\(0\)に近づくと、\(a_n\)が正の数であるという仮定に反し、無事背理法の完了となる。
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