問題
\(x > 0\)に対し\(f(x) = \frac{\log{x}}{x}\)とする。
\((1)\) \(n = 1, 2, \cdots\)に対し\(f(x)\)の\(n\)次導関数は、数列\(\{a_n\}, \{b_n\}\)を用いて、$$f^{(n)}(x) = \frac{a_n + b_n\log{x}}{x^{n+1}}$$と表されることを示し、\(a_n, b_n\)に関する漸化式を求めよ。
\((2)\) \(h_n = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\)とおく。\(h_n\)を用いて\(a_n, b_n\)の一般項を求めよ。
方針
\((1)\)は当然帰納法で示す。\((2)\)は\(b_n\)はすぐに分かるが、\(a_n\)は難しい。
解答
\((1)\) \(f^{\prime}(x) = \frac{1-\log{x}}{x^2}\)だから\(a_1 = 1, b_1= -1\)となる。\(n = k\)のときに$$f^{(k)}(x) = \frac{a_k+b_k\log{x}}{x^{k+1}}$$と表されると仮定して、$$f^{((k+1)}(x) = \frac{\frac{b_k}{x}\cdot x^{k+1}-(a_k+b_k\log{x})(k+1)x^k}{x^{2k+2}}$$ $$ = \frac{-(k+1)a_k+b_k-b_k(k+1)\log{x}}{x^{k+2}}$$となるから、$$a_{n+1}=-(n+1)a_n+b_n$$ $$b_{n+1}=-(n+1)b_n$$ $$a_1 = 1, b_1 = -1$$とすれば\(n = k+1\)の時にも題意のように表される。
\((2)\) \((1)\)から\(b_1 = 1, b_{n+1} = -(n+1)b_n\)だから、\(b_n = -n\cdot (n-1)\cdots (-2)(-1) = (-1)^n n!\)である。これから、$$a_{n+1} = -(n+1)a_n + (-1)^n n!$$となる。この式の両辺を\((-1)^{n+1} (n+1)!\)で割って、\(c_n = \frac{(-1)^n a_n}{n!}\)と置くと、$$c_{n+1}=c_n-\frac{1}{n+1}$$となる。\(c_1 = -1\)であるから、$$c_n = c_1-\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k+1}}$$ $$ = -1-\sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{k}}$$ $$ = -h_n$$である。よって、\(a_n = -(-1)^{n}n! c_n = (-1)^{n+1}n! h_n\)となる。
解説
例えば、\(x_{n+1} = -3x_n+ (-1)^n, x_1 = 1\)という漸化式を解くときに、両辺を\((-1)^{n+1}\)で割ってから、\(y_n = \frac{x_n}{(-1)^n}\)とすると、きれいに漸化式を解くことが出来る。知らないと意外に思いつきにくい。
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