問題
\(Q(x)\)を\(2\)次式とする。整式\(P(x)\)は\(Q(x)\)で割り切れないが、\(\{P(x)\}^2\)は\(Q(x)\)で割り切れるという。このとき\(2\)次方程式\(Q(x) = 0\)は重解をもつことを示せ。
方針
具体的に置く。
解答
\(P(x)\)を\(Q(x)\)で割った商を\(S(x)\)、余りを\(R(x)\)とすると、\(R(x)\ne 0\)で、\(R(x)\)は\(1\)次式である。$$P(x) = Q(x)S(x) + R(x)$$であり、$$\{P(x)\}^2 = \{Q(x)S(x)\}^2 + 2Q(x)S(x) R(x) + \{R(x)\}^2$$となる。\(\{P(x)\}^2\)は\(Q(x)\)で割り切れるので、\(\{R(x)\}^2 = aQ(x)\)となる実数\(a\)が存在する。\(a = 0\)とすると、\(P(x) = Q(x)S(x)\)となり、\(P(x)\)が\(Q(x)\)で割り切れないことに反する。よって、\(a\ne 0\)で、\(Q(x) = \frac{1}{a}\{R(x)\}^2\)となり、\(Q(x) = 0\)は重解を持つ。
解説
特に難しいところはない。実際、受験生の出来も良かったそうである。
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