[math]2006年度前期京都大学文理共通問題文系3理系1

math

2021.12.01

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問題

$Q(x)$を$2$次式とする。整式$P(x)$は$Q(x)$で割り切れないが、$\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるという。このとき$2$次方程式$Q(x) = 0$は重解をもつことを示せ。

方針

具体的に置く。

解答

$P(x)$を$Q(x)$で割った商を$S(x)$、余りを$R(x)$とすると、$R(x)\ne 0$で、$R(x)$は$1$次式である。$$P(x) = Q(x)S(x) + R(x)$$であり、$$\{P(x)\}^2 = \{Q(x)S(x)\}^2 + 2Q(x)S(x) R(x) + \{R(x)\}^2$$となる。$\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるので、$\{R(x)\}^2 = aQ(x)$となる実数$a$が存在する。$a = 0$とすると、$P(x) = Q(x)S(x)$となり、$P(x)$が$Q(x)$で割り切れないことに反する。よって、$a\ne 0$で、$Q(x) = \frac{1}{a}\{R(x)\}^2$となり、$Q(x) = 0$は重解を持つ。