問題
\(1\)次式\(A(x), B(x), C(x)\)に対して\(\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2 = \{C(x)\}^2\)が成り立つとする。このとき\(A(x)\)は\(B(x)\)とともに\(C(x)\)の定数倍であることを示せ。
方針
\(1\)次式だからといって気軽に\(A(x) = ax + b, \cdots\)などと置くと痛い目をみる。
解答
\(\{A(x)\}^2 = \{C(x)+B(x)\}\{C(x)-B(x)\}\)であり、\(C(x) + B(x)\)と\(C(x)-B(x)\)はともに\(0\)でない\(1\)次式であるから、定数\(k (k\ne 0)\)を用いて$$kA(x) = C(x) + B(x)$$ $$\frac{1}{k}A(x) = C(x)-B(x)$$とおける。このとき、$$(k^2+1)A(x) = 2kC(x)$$ $$(k^2+1)B(x) = (k^2-1)C(x)$$である。ここで\(k=\sqrt{-1}\)とすると、\(C(x) = 0\)となり、\(C(x)\)が\(1\)次式であることに反する。したがって\(k\ne \sqrt{-1}\)で、\(A(x) = \frac{2k}{k^2+1}C(x)\)および\(B(x) = \frac{k^2-1}{k^2+1}C(x)\)となり、\(A(x), B(x)\)はともに\(C(x)\)の定数倍である。
解説
具体的に\(A(x) = ax+b, B(x) = cx+d, C(x) = ex+f\)などとして両辺を比較すると、$$a^2+c^2 = e^2$$ $$ab+cd = ef$$ $$b^2+d^2=f^2$$という関係式が得られる。もしすべての文字が実数であるならば題意がいえるが、それでも簡単ではない。さらに、すべての文字が実数であるとは問題文には書いておらず、この方針で正確な論証を行うのは残念ながら困難である。ほとんど得点を望むことはできないだろう。解答では、\(B(x)\)を移項し一次式同士の積の形を作り、論証を行っている。
解答中の補足であるが、もしも\(C(x)+B(x)\)と\(C(x)-B(x)\)がともに\(0\)だとすると、\(C(x) = \frac{1}{2}\{(C(x) + B(x)) + (C(x)-B(x))\}\)も\(B(x) = \frac{1}{2}\{(C(x) + B(x)) -(C(x)-B(x))\}\)も\(0\)になり、矛盾する。
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