問題
\(a, b, c\)は実数で、\(a\geq 0, b\geq 0\)とする。$$p(x) = ax^2+bx+c, q(x) = cx^2 + bx + a$$とおく。\(-1\leq x\leq 1\)を満たすすべての\(x\)に対して\(\mid p(x) \mid \leq 1\)が成り立つとき、\(-1 \leq x\leq 1\)を満たすすべての\(x\)に対して\(\mid q(x)\mid \leq 2\)が成り立つことを示せ。
方針
端点に着目し、係数\(a, b, c\)を\(p(-1), p(0), p(1)\)で表す。
解答
$$p(-1) = a-b+c$$ $$p(0) = c$$ $$p(1) = a+b+c$$であるから、$$a = \frac{p(-1) + p(1)}{2}-p(0)$$ $$b = \frac{-p(-1) + p(1)}{2}$$ $$c = p(0)$$である。\(-1\leq p(-1), p(0), p(1)\leq 1\)であるから、\(-1\leq x\leq 1\)の時、三角不等式より$$\mid q(x)\mid = \mid cx^2 + bx + a\mid $$ $$ =\left| p(0)(x^2-1) + \frac{x}{2}\{p(1)-p(-1)\} + \frac{1}{2}\{p(1) + p(-1)\} \right|$$ $$\leq \left|p(0)(x^2-1)\right| + \left|\frac{x}{2}\{p(1)-p(-1)\} + \frac{1}{2}\{p(1)+p(-1)\}\right|$$となる。\(-1\leq x\leq 1\)において\( |x^2-1|\leq 1\)であるから、これを更に評価すると、$$\leq \left|p(0)\right| + \left|\frac{x}{2}\{p(1)-p(-1)\} + \frac{1}{2}\{p(1)+p(-1)\}\right|$$となる。ところで、\(\frac{x}{2}\{p(1)-p(-1)\} + \frac{1}{2}\{p(1)+p(-1)\}\)は\(x\)の一次関数であり、区間\(-1\leq x\leq 1\)で最大値を取るのは\(x = -1\)か\(x = 1\)の時である。\(x = -1\)の時この値は\(p(-1)\)で、\(x = 1\)の時\(p(1)\)だから、どちらにしても$$\mid q(x)\mid \leq 1 + 1 = 2$$となり、\(-1 \leq x \leq 1\)において\(\mid q(x) \mid \leq 2\)が成立する。
解説
難問である。初めて挑戦して解けた場合、相当な実力があると思っても良い。このタイプの問題は昔から形を変え出題されていて、解答のように係数を端点で表すことに着目できればほぼ解決する。なお、このときの文系の問題では条件\(c\geq 0\)を加えたものが出題されており、この条件を加えると一気に簡単になり、より強い不等式$$\mid q(x)\mid \leq 1$$を示すことが出来る。
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