問題
\(p\)が素数であれば、どんな自然数\(n\)についても、\(n^p-n\)は\(p\)で割り切れる。このことを、\(n\)についての数学的帰納法で証明せよ。
方針
丁寧に解法まで指定してくれているので、素直に従う。
解答
\(n = 1\)の時\(n^p-n = 0\)であるから、\(p\)で割り切れる。\(n = k\)の時\(n^p-n\)が\(p\)で割り切れると仮定すると、整数\(m\)を用いて\(k^p-k = mp\)と置ける。すると、$$(k+1)^p-(k+1) = \sum_{i=0}^{p}{_{p}\mathbb{C}_i k^{i}} – (k+1)$$ $$ = 1 + \sum_{i=1}^{p-1}{_{p}\mathbb{C}_i k^{i}} + k^p-k-1$$ $$ = \sum_{i=1}^{p-1}{_{p}\mathbb{C}_{i} k^i} + (k^p-k)$$ $$ = \sum_{i=1}^{p-1}{_{p}\mathbb{C}_{i}k^i} + pm$$となる。ここで、\(1\leq i\leq p-1\)の時、\(_{p}\mathbb{C}_{i} = \frac{p}{i}_{p-1}\mathbb{C}_{i-1}\)であり、\(p\)は素数だから左辺は\(p\)の倍数である。したがって\(_{p}\mathbb{C}_{i}\)は\(p\)の倍数である。これから\(\sum_{i=1}^{p-1}{_{p}\mathbb{C}_{i} k^i}\)は\(p\)の倍数であるから、\((k+1)^p-(k+1)\)は\(p\)で割り切れる。以上、数学的帰納法により\(n^p-n\)は\(p\)が素数の時\(p\)で割り切れる。
解説
問題はFermatの小定理と呼ばれるもので、フランスの数学者Fermat（ピエール・ド・フェルマー）が発見した数多くの定理の一つである。
証明には一つ大事なポイントがあって、\(p\)が素数のときには\(_{p}\mathbb{C}_{i} (1\leq i\leq p-1)\)は\(p\)の倍数になるという部分である。これがポイントで直接用いるか、あるいは証明するという問題がよく出題される。落ち着いて考えれば当然だが自分でパッと出せるようにするのはなかなか難しい。Fermatの小定理自体は数論の中では非常に基礎的でありながら応用が広い。入試でもよく出題されるが、Fermatの小定理を使わないと解けない問題というのはそれほど多くない。
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