[math]1986年東京工業大学数学問題1

math

2021.12.13

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問題

整数$a_n = 19^n + (-1)^{n-1}2^{4n-3} (n = 1, 2, 3, \cdots)$のすべてを割り切る素数を求めよ。

方針

小さい$n$で実験してみると、答えはすぐに分かる。

解答

$a_1 = 27 = 3\times 7$であり、$a_2 = 329 = 7\times 47$であるから、題意のような素数があるとしたら$7$しかない。$a_n$が$7$で割り切れることを示す。$$\begin{eqnarray}a_{n+1} & = & 19^{n+1}+(-1)^n2^{4n+1} \\ & = & 19\{a_n-(-1)^{n-1}2^{4n-3}\} + (-1)^{n}2^{4n+1} \\ & = & 19a_n+(-1)^n(19\cdot 2^{4n-3} + 16\cdot2^{4n-3}) \\ & = & 19a_n+(-1)^n\cdot 35\cdot 2^{4n-3} \end{eqnarray}$$であるから、$a_n$が$7$で割り切れるなら、$a_{n+1}$も$7$で割り切れる。$a_1$は$7$で割り切れるので、帰納的に$a_n$が$7$で割り切れることがわかる。以上より、求める素数は$7$である。