[math]1997年京都大学後期数学過去問問題2

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2022.01.252021.12.14

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問題

自然数$n$と$n$項数列$a_k (1\leq k\leq n)$が与えられていて、次の条件（イ）、（ロ）を満たしている。
（イ）$a_k (1\leq k\leq n)$はすべて正整数で、すべて$1$と$2n$の間にある。$$1\leq a_k\leq 2n$$
（ロ）$\displaystyle{s_j = \sum_{k=1}^{j}{a_k}}$とおくとき、$s_j (1\leq j\leq n)$はすべて平方数である（整数の二乗である数を平方数という）。このとき、
$(1)$ $s_n = n^2$であることを示せ。
$(2)$ $a_k (1\leq k\leq n)$を求めよ。

方針

ここで$n$は変数ではなく、与えられた定数であることに注意する。

解答

$(1)$ $n = 1$のとき、条件（イ）から$1\leq a_1\leq 2$で、条件（ロ）から$s_1 = a_1$が平方数だから、$a_1 = 1$である。よって、$s_1 = 1^2$で、題意が成り立つ。$n > 1$の時を考える。$a_k (1\leq k\leq n)$は正整数であるから、$$s_1 < s_2 < \cdots < s_n$$である。$s_j (1\leq j\leq n)$はすべて平方数であるから、$n^2 \leq s_n $である。すなわち、$s_n = m^2$としたとき、$n\leq m$である。また、$s_{n-1}\leq (m-1)^2$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}a_n & = & s_n-s_{n-1} \\ & =\geq & m^2-(m-1)^2 \\ & = & 2m-1 \end{eqnarray}$$となる。一方、条件（イ）から$a_n\leq 2n$であるから、$2m-1\leq 2n$である。以上、$n\leq m$かつ$2m-1\leq n$であるから、$n = m$である。よって、$s_n = n^2$である。

$(2)$ $n = 1$の時は$a_n = 1$となる。$n > 1$のとき、$(1)$の過程から$s_1 = 1^2, s_2 = 2^2, \cdots, s_n = n^2$がわかる。したがって$a_1 = 1$ $$\begin{eqnarray}a_k & = & s_k-s_{k-1} \\ & = & k^2-(k-1)^2 \\ & = & 2k-1 (n\geq 2)\end{eqnarray}$$となる。これは$k=1$でも成立する。