[math]1994年京都大学後期数学文理共通問題1

問題

$a+b+c=0$を満たす実数$a,b,c$について、$(\mid a\mid +\mid b\mid +\mid c\mid {)}^2\ge 2(a^2+b^2+c^2)$が成り立つことを示せ。また、ここで等号が成り立つのはどんな場合か。

方針

不等式の問題では一文字消去が原則ではあるが、対称性を崩さずに式変形を進めるのも良いアイデアである。

解答

示すべき不等式を変形すると、$2(\mid ab\mid +\mid bc\mid +\mid ca\mid )\ge a^2+b^2+c^2$となるので、これを示すことにする。右辺は、$a+b+c=0$を用いると$$\begin{array}{rcl}{a}^2+b^2+c^2& =& (a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca)\\ & =& -2(ab+bc+ca)\end{array}$$だから、$$\mid ab\mid +\mid bc\mid +\mid ca\mid \ge -(ab+bc+ca)$$を示せば良い。一般に、実数$x$に対して$\mid x\mid \ge -x$であるから、$\mid ab\mid \ge -ab,\mid bc\mid \ge -bc,\mid ca\mid \ge -ca$が成り立ち、辺ごとに足すと$\mid ab\mid +\mid bc\mid +\mid ca\mid \ge -(ab+bc+ca)$が成立する。また、$\mid x\mid \ge -x$において等号が成立するのは$x\le 0$の時である。したがって、与えられた不等式で等号が成立するのは、$ab\le 0,bc\le 0,ca\le 0$すべてが成り立つ時である。これらをすべて掛け合わせると、$a^2{b}^2{c}^2\le 0$となる。よって、$a,b,c$のうち少なくともひとつは$0$であることが必要である。逆に、例えば$a=0$のとき$b+c=-a=0$となり、$bc\le 0$が満たされ、他の$ab\le 0,ca\le 0$も成り立つから、与えられた不等式の等号が成立する。これは十分条件である。

解説

色々な解き方のある問題だが、見た目ほど易しくない。不等式の問題ではいきなり与えられた式を示すのではなく、簡単に出来る所まで簡単にしてから示すようにする。

等号成立の条件も簡単ではない。$a^2{b}^2{c}^2\le 0$であることから、$a,b,c$の少なくとも1つは$0$でないといけない。これは必要条件でしかなく、十分条件であることも確かめなくてはならない。こういった問題で十分性を確かめなかった場合、$0$点にされても文句は言えない。採点官に何も分かっていないと思われても（実際にはそうでなくても）言い訳のしようがないからである。