[math]1989年京都大学理系後期数学理学部専用問題

問題

\(2\)次方程式\(ax^2-bx+3c=0\)において、\(a, b, c\)は\(1\)桁の自然数であり、二つの解\(\alpha, \beta\)は\(1<\alpha<2, 5<\beta<6\)をみたす。このとき、\(a, b, c\)の値を求めよ。

方針

できることはそんなに多くないが、色々な知識がグルグルと頭を巡り一発ですっと解ける人は意外に少なかったかも知れない。

解答

\(f(x) = ax^2-bx+3x\)とする。\(a\)は自然数で正であり、条件\(1<\alpha<2<\beta\)から、\(f(1) > 0, f(2) <0\)である。したがって、$$\begin{cases}f(1) = a-b+3c > 0 \\ f(2) = 4a-2b + 3c < 0\end{cases}$$となる。これから\(b-a < 3c < 2b-4a\)である。したがって、\(b-a < 2b-4a\)となり、\(3a < b\)である。\(a\geq 3\)とすると、\(9 < b\)となり、\(b\)が\(1\)桁の自然数であることに反する。したがって、\(a < 3\)であるから、\(a = 1\)か\(a = 2\)である。

\((i)\) \(a = 1\)とすると、解と係数の関係から\(\alpha+\beta = b\)である。\(1<\alpha<2, 5<\beta < 6\)より\(6<\alpha+\beta < 8\)だから、\(\alpha+\beta = b = 7\)となる。再度、解と係数の関係から\(\alpha\beta = 3c\)であり、\(5<\alpha\beta < 12\)であるから、\(\frac{5}{3}<c < 4\)である。したがって、\(c = 2\)か\(c = 3\)である。\(c = 2\)とすると\(f(x) = x^2-7x+6 = (x-6)(x-1)\)となり、\(\alpha = 1, \beta = 6\)となり\(1<\alpha<2, 5 < \beta < 6\)を満たさない。\(c = 3\)とすると\(f(x) = x^2-7x + 9\)となり、\(\alpha =\frac{7-\sqrt{13}}{2}, \beta = \frac{7+\sqrt{13}}{2}\)となり\(1<\alpha<2, 5<\beta < 6\)を満たす。

\((ii)\) \(a=2\)とすると、解と係数の関係から\(\alpha+\beta = \frac{b}{2}\)である。\(1<\alpha<2, 5<\beta < 6\)より\(6<\alpha+\beta<8\)だから、\(12 < b < 16\)となり、これを満たす\(1\)桁の自然数\(b\)は存在しない。

以上から、\((a, b, c) = (1, 7, 3)\)である。

解説

直接\(a, b, c\)で解を表してしまうと\(3\)文字が現れて混乱してしまう。解と係数の関係で\(2\)文字の話にするが、その前に解の配置を考えると\(a\)も\(b\)も決まってしまう。