[math]1989年京都大学理系数学問題2

math

2022.01.272021.12.19

Table of Contents

問題

$n$個$(n\geq 3)$の実数$a_1, a_2, \cdots, a_n$があり、各$a_i$は他の$n-1$個の相加平均より大きくはないという。このような$a_1, a_2, \cdots, a_n$の組をすべて求めよ。

方針

与えられた条件を立式してみる。

解答

$\displaystyle{S_n = \sum_{k=1}^{n}{a_k}}$とすると、条件から任意の$j (1\leq j\leq n)$に対して、$$a_j \leq \frac{S_n-a_j}{n-1} \tag{a}$$が成り立つ。式$(a)$で$j=1, 2, \cdots, n$としたものを足すと、$$S_n\leq \frac{nS_n}{n-1}-\frac{S_n}{n-1}$$が成り立つ。すなわち、$S_n\leq S_n$である。ここで、式$(a)$の等号はすべての$j(1\leq j\leq n)$で成立する。そうでないと、$S_n < S_n$となり矛盾である。すなわち、$\displaystyle{a_j = \frac{S_n-a_j}{n-1}}$であり、$\displaystyle{a_j = \frac{S_n}{n}}$となるから、求める$a_1, a_2, \cdots, a_n$の組は$a_1 = a_2 = \cdots = a_n$である。