[math]1970年東京大学理系数学問題1

問題
方針
解答
解説

問題

$i$を虚数単位とし$\displaystyle a = \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}}$とおく。また$n$はすべての自然数にわたって動くとする。このとき
$(1)$ $a^n$は何個の異なる値をとりうるか。
$(2)$ $\displaystyle \frac{(1-a^n)(1-a^{2n})(1-a^{3n})(1-a^{4n})(1-a^{5n})}{(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)(1-a^5)}$の値を求めよ。

方針

一瞬ぎょっとするが、落ち着いて考えれば高々$6$通りを考えれば十分である。

解答

$(1)$ $a$を具体的に書くと、$\displaystyle a = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}$である。de Moivreの定理から、$$\begin{eqnarray}a^2 & = & \cos{\frac{2}{3}\pi} + i\sin{\frac{2}{3}\pi} \\ & = & \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \\ a^3 & = & \cos{\pi} + i\sin{\pi} \\ & = & -1\end{eqnarray}$$である。すると、$$\begin{eqnarray}a^4 & = & (a^3)a \\ & = & -a \\ & = & \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\\ a^5 & = & (a^4)a \\ & = & -a^2 \\ & = & \frac{1-i\sqrt{3}} {2} \\ a^6 & = & (a^3)^2 \\ & = & (-1)^2 \\ & = & 1\end{eqnarray}$$である。これから、$a^{6m+k} = a^6ma^k =a^k\ (m\in \mathbb{Z}, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) $であることがわかる。以上より、$a^n$の取りうる値は$\displaystyle 1, \frac{1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, -1, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}, \frac{1-i\sqrt{3}}{2}$の$\underline{6}$個となる。

$(2)$ $(1)$から$n$を$6$で割った余りで分類する。
$(i)$ $n \equiv 0 \pmod 6$のとき、$a^n = 1$であるから、与えられた式は$0$になる。
$(ii)$ $n \equiv 1 \pmod 6$のとき、$a^n = a$であるから、与えられた式は$1$になる。
$(iii)$ $n\equiv 2 \pmod 6$のとき、$a^n = a^2$であるから、$a^{3n} = a^6 = 1$となる。よって、与えられた式は$0$になる。
$(iv)$ $n\equiv 3 \pmod 6$のとき、$a^n = a^3$であるから、$a^{2n} = a^6 = 1$となる。よって、与えられた式は$0$になる。
$(v)$ $n \equiv 4 \pmod 6$ のとき、$a^n = a^4$であるから、$a^{3n} = a^{12} = 1$となる。よって、与えられた式は$0$になる。
$(vi)$ $n\equiv 5 \pmod 6$のとき、$a^n = a^5$である。すると、$$\begin{eqnarray}a^{2n} & = & a^{10} \\ & = & a^4 \\ a^{3n} & = & a^{15} \\ & = & a^3 \\ a^{4n} & = & a^{20} \\ & = & a^2 \\ a^{5n} & = & a^{25} \\ & = & a\end{eqnarray}$$である。よって、与えられた式は$1$になる。

以上から、$n$を$6$で割った余りが$0, 2, 3, 4$のときは与えられた式は$\underline{0}$となり、それ以外（$n$を$6$で割った余りが$1, 5$のとき）は与えられた式は$\underline{1}$となる。

解説

$(1)$は具体的に書きだしてみると、$6$を周期として$a_n$はが巡回することが分かる。

$(2)$ $(1)$を使える事がわかる。合同式の表記について、例えば$n \equiv 4 \pmod 6$と書いたときは$n$を$6$で割った余りが$4$であることを表している。整数の問題や、この問題のように周期数列を扱うときに便利である。大学受験の答案で用いても全く問題ないので、習熟しておくとよい。