[math]1985年東京大学理系数学問題5

math

2021.12.24

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問題

$0$または整数の値をとる変数$X, Y$がある。$X$が整数$n (n\geq 0)$の値をとる確率と、$Y$が$n (n\geq 0)$の値をとる確率はともに$p_n$であるとする（ここで$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}{p_n} = 1}$である）。
いま、任意の整数$m, n \ (m\geq 0, n\geq 0)$に対して、$X = m$となる事象と$Y = n$となる事象は独立であり、また$X + Y = n$となる確率は$(n+1)p_{n+1}$に等しいという。このとき$p_n (n = 0, 1, 2, \cdots)$と$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}{np_n}}$の値を求めよ。

方針

一瞬ぎょっとするが、中身は簡単な極限の計算問題である。

解答

$X$が$n$という値をとる確率を$P(X = n)$などとおく。事象$X = m$と$Y = n$は独立であるから、定義より$$P(X = m かつ Y = n) = P(X = m)P(Y = n)$$である。したがって$X + Y = n$となるとき、$(X, Y) = (0, n), (1, n-1), (2, n-2), \cdots, (n, 0)$であるから、$$(n+1)p_{n+1} = p_0p_n + p_1p_{n-1} + \cdots p_np_0$$となる。この式を用いて、順次$p_n \ (n = 0, 1, 2, \cdots)$を求めると、$p_n = p_0, {p_0}^2, {p_0}^3, \cdots$となる。$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{p_n} = 1$を用いて$p_0$を決定する。$$\begin{eqnarray}\sum_{n=0}^{\infty}{p_n} & = & p_0(1 + p_0 + {p_0}^2 + \cdots )\\ & = & \frac{p_0}{1-p_0} \\ & = & 1\end{eqnarray}$$だから、$\displaystyle p_0 = \frac{1}{2}$となる。これから、$\displaystyle \underline{p_n = \frac{1}{2^{n+1}}}$となる。

$\displaystyle \sum_{n= 0}^{\infty}{np_n} = A$とすると、$$\begin{eqnarray}A & = & \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + \cdots \\ \frac{A}{2} & = & \frac{1}{2^3} + \frac{2}{2^4} + \cdots\end{eqnarray}$$となり、辺ごとの差を作り、$$\begin{eqnarray}\frac{A}{2} & = & \frac{1}{2^2}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots\right) \\ & = & \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\ & = & \frac{1}{2}\end{eqnarray}$$となる。よって、$A= 1$となるから、$\displaystyle \underline{\sum_{n=0}^{\infty}{np_n} = 1}$となる。