[math]2021年東京工業大学数学問題3

問題

$(1)$ 正の整数$n$に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$\begin{array}{rcl}n{}_{2n}{\mathbb{C}}_n& =& (n+1){}_{2}n{\mathbb{C}}_{n-1}\end{array}$$
また、これを用いて${}_{2n}{\mathbb{C}}_n$は$n+1$の倍数であることを示せ。
$(2)$ 正の整数$n$に対して、$$\begin{array}{rcl}{a}_n& =& \frac{{}_{2n}{\mathbb{C}}_n}{n+1}\end{array}$$とおく。このとき、$n\ge 4$ならば$a_n>n+2$であることを示せ。
$(3)$ $a_n$が素数となる正の整数$n$をすべて求めよ。

方針

誘導に従って素直に計算すれば良い。

解答

$$\begin{array}{rcl}n{}_{2n}{\mathbb{C}}_n& =& n\cdot \frac{(2n)!}{n!n!}\\ & =& \frac{(2n)!}{(n-1)!n!}\\ & =& (n+1)\cdot \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!}\\ & =& (n+1){}_{2n}{\mathbb{C}}_{n-1}\end{array}$$である。$n$と$n+1$は互いに素であるから、${}_{2n}{\mathbb{C}}_n$は$n+1$の倍数である。

$(2)$ ある$k$に対して$a_k>k+2$を仮定する。この時、$$\begin{array}{rcl}{a}_{k+1}& =& \frac{{}_{2(k+1)}{\mathbb{C}}_{k+1}}{k+2}\\ & =& \frac{2(k+1)!}{(k+1)!(k+1)!}\frac{1}{k+2}\\ & =& \frac{(2k+2)(2k+1)\cdot (2k)!}{(k+1{)}^2\cdot k!k!}\cdot \frac{1}{k+2}\\ & =& \frac{{}_{2k}{\mathbb{C}}_k}{k+1}\cdot \frac{2(2k+1)}{(k+2)}\\ \text{(a)}& & =& a_k\cdot \frac{2(2k+1)}{(k+2)}& >& \frac{2(k+2)(2k+1)}{(k+2)}\\ & =& 2(2k+1)\\ & >& k+3(k>1)\end{array}$$である。また、$a_4=14>4+2$である。以上から数学的帰納法により$n\ge 4$であれば$a_n>n+2$が成り立つ。

$(3)$ $a_1=1,a_2=2,a_3=5$である。式$(a)$から$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& \frac{a_n}{n+2}\cdot 2(2n+1)\end{array}$$であった。これを$$\begin{array}{rcl}(n+2)a_{n+1}& =& 2(2n+1)a_n\end{array}$$と変形する。問題$(1)$から$a_n$はすべて整数で、$a_{n+1}$も整数である。$a_{n+1}$が素数であるとすると、$2,2n+1,a_n$のいずれかが素因数$a_{n+1}$を持つ。ところが、問題$(2)$から$n\ge 4$の時$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& \frac{a_n}{n+2}\cdot 2(2n+1)\\ & >& \frac{n+2}{n+2}\cdot 2(2n+1)\\ & =& 2(2n+1)\end{array}$$となるので、$2,2n+1$が素因数$a_{n+1}$を持つことはない。また、$$\begin{array}{rcl}{a}_{n+1}& =& \frac{2(2n+1)}{n+2}\cdot a_n\\ & >& a_n\end{array}$$であるから、$a_n$が素因数$a_{n+1}$を持つことはない。以上より、$n\ge 4$の時$a_{n+1}$は合成数である。よって、$a_n$が素数となる正の整数は$\underset{―}{2,3}$である。

解説

$(2)$ 数学的帰納法が利用できる。

$(3)$ $(2)$の過程で現れた式が利用できる。なお、${\displaystyle \frac{a_n}{n+2}}$が整数になることを示しても良い。この$a_n$はカタラン数と言われている。