問題
\((1)\) 正の整数\(n\)に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$\begin{eqnarray}
n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & (n+1){{_2n}\mathbb{C}_{n-1}} \end{eqnarray}$$
また、これを用いて\({_{2n}\mathbb{C}_{n}}\)は\(n+1\)の倍数であることを示せ。
\((2)\) 正の整数\(n\)に対して、$$\begin{eqnarray}a_n & = & \frac{{_{2n}\mathbb{C}_{n}}}{n+1} \end{eqnarray}$$とおく。このとき、\(n\geq 4\)ならば\(a_n > n+2\)であることを示せ。
\((3)\) \(a_n\)が素数となる正の整数\(n\)をすべて求めよ。
方針
誘導に従って素直に計算すれば良い。
解答
$$\begin{eqnarray} n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & n\cdot \frac{(2n)!}{n!n!} \\ & = & \frac{(2n)!}{(n-1)!n!} \\ & = & (n+1)\cdot \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!} \\ & = & (n+1){_{2n}\mathbb{C}_{n-1}} \end{eqnarray}$$である。\(n\)と\(n+1\)は互いに素であるから、\({_{2n}\mathbb{C}_n}\)は\(n+1\)の倍数である。
\((2)\) ある\(k\)に対して\(a_k > k+2\)を仮定する。この時、$$\begin{eqnarray} a_{k+1} & = & \frac{{_{2(k+1)}\mathbb{C}_{k+1}}}{k+2} \\ & = & \frac{{2(k+1)}!}{(k+1)!(k+1)!}\frac{1}{k+2} \\ & = & \frac{(2k+2)(2k+1)\cdot (2k)!}{(k+1)^2\cdot k!k!}\cdot \frac{1}{k+2} \\ & = & \frac{{_{2k}\mathbb{C}_{k}}}{k+1}\cdot \frac{2(2k+1)}{(k+2)} \\ & = & a_k\cdot\frac{2(2k+1)}{(k+2)} \tag{a}\\ & > & \frac{2(k+2)(2k+1)}{(k+2)} \\ & = & 2(2k+1)\\ & > & k+3\ (k > 1)\end{eqnarray}$$である。また、\(a_4 = 14 > 4+2\)である。以上から数学的帰納法により\(n\geq 4\)であれば\(a_n > n+2\)が成り立つ。
\((3)\) \(a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 5\)である。式\((a)\)から$$\begin{eqnarray} a_{n+1} & = & \frac{a_n}{n+2} \cdot 2(2n+1) \end{eqnarray}$$であった。これを$$\begin{eqnarray} (n+2)a_{n+1} & = & 2(2n+1)a_n \end{eqnarray}$$と変形する。問題\((1)\)から\(a_n\)はすべて整数で、\(a_{n+1}\)も整数である。\(a_{n+1}\)が素数であるとすると、\(2,\ 2n+1,\ a_n\)のいずれかが素因数\(a_{n+1}\)を持つ。ところが、問題\((2)\)から\(n\geq 4\)の時$$\begin{eqnarray} a_{n+1} & = & \frac{a_n}{n+2} \cdot 2(2n+1) \\ & > & \frac{n+2}{n+2} \cdot 2(2n+1) \\ & = & 2(2n+1) \end{eqnarray}$$となるので、\(2, 2n+1\)が素因数\(a_{n+1}\)を持つことはない。また、$$\begin{eqnarray} a_{n+1} & = & \frac{2(2n+1)}{n+2} \cdot a_n \\& > & a_n \end{eqnarray}$$であるから、\(a_n\)が素因数\(a_{n+1}\)を持つことはない。以上より、\(n\geq 4\)の時\(a_{n+1}\)は合成数である。よって、\(a_n\)が素数となる正の整数は\(\underline{2,\ 3}\)である。
解説
\((2)\) 数学的帰納法が利用できる。
\((3)\) \((2)\)の過程で現れた式が利用できる。なお、\(\displaystyle \frac{a_n}{n+2}\)が整数になることを示しても良い。この\(a_n\)はカタラン数と言われている。
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