[math]2021年東京工業大学数学問題3

math

2021.12.24

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問題

$(1)$ 正の整数$n$に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。$$\begin{eqnarray}
n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & (n+1){{_2n}\mathbb{C}_{n-1}} \end{eqnarray}$$
また、これを用いて${_{2n}\mathbb{C}_{n}}$は$n+1$の倍数であることを示せ。
$(2)$ 正の整数$n$に対して、$$\begin{eqnarray}a_n & = & \frac{{_{2n}\mathbb{C}_{n}}}{n+1} \end{eqnarray}$$とおく。このとき、$n\geq 4$ならば$a_n > n+2$であることを示せ。
$(3)$ $a_n$が素数となる正の整数$n$をすべて求めよ。

方針

誘導に従って素直に計算すれば良い。

解答

$$\begin{eqnarray} n\ {_{2n}\mathbb{C}_{n}} & = & n\cdot \frac{(2n)!}{n!n!} \\ & = & \frac{(2n)!}{(n-1)!n!} \\ & = & (n+1)\cdot \frac{(2n)!}{(n-1)!(n+1)!} \\ & = & (n+1){_{2n}\mathbb{C}_{n-1}} \end{eqnarray}$$である。$n$と$n+1$は互いに素であるから、${_{2n}\mathbb{C}_n}$は$n+1$の倍数である。

$(2)$ ある$k$に対して$a_k > k+2$を仮定する。この時、$$\begin{eqnarray} a_{k+1} & = & \frac{{_{2(k+1)}\mathbb{C}_{k+1}}}{k+2} \\ & = & \frac{{2(k+1)}!}{(k+1)!(k+1)!}\frac{1}{k+2} \\ & = & \frac{(2k+2)(2k+1)\cdot (2k)!}{(k+1)^2\cdot k!k!}\cdot \frac{1}{k+2} \\ & = & \frac{{_{2k}\mathbb{C}_{k}}}{k+1}\cdot \frac{2(2k+1)}{(k+2)} \\ & = & a_k\cdot\frac{2(2k+1)}{(k+2)} \tag{a}\\ & > & \frac{2(k+2)(2k+1)}{(k+2)} \\ & = & 2(2k+1)\\ & > & k+3\ (k > 1)\end{eqnarray}$$である。また、$a_4 = 14 > 4+2$である。以上から数学的帰納法により$n\geq 4$であれば$a_n > n+2$が成り立つ。

$(3)$ $a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 5$である。式$(a)$から$$\begin{eqnarray} a_{n+1} & = & \frac{a_n}{n+2} \cdot 2(2n+1) \end{eqnarray}$$であった。これを$$\begin{eqnarray} (n+2)a_{n+1} & = & 2(2n+1)a_n \end{eqnarray}$$と変形する。問題$(1)$から$a_n$はすべて整数で、$a_{n+1}$も整数である。$a_{n+1}$が素数であるとすると、$2,\ 2n+1,\ a_n$のいずれかが素因数$a_{n+1}$を持つ。ところが、問題$(2)$から$n\geq 4$の時$$\begin{eqnarray} a_{n+1} & = & \frac{a_n}{n+2} \cdot 2(2n+1) \\ & > & \frac{n+2}{n+2} \cdot 2(2n+1) \\ & = & 2(2n+1) \end{eqnarray}$$となるので、$2, 2n+1$が素因数$a_{n+1}$を持つことはない。また、$$\begin{eqnarray} a_{n+1} & = & \frac{2(2n+1)}{n+2} \cdot a_n \\& > & a_n \end{eqnarray}$$であるから、$a_n$が素因数$a_{n+1}$を持つことはない。以上より、$n\geq 4$の時$a_{n+1}$は合成数である。よって、$a_n$が素数となる正の整数は$\underline{2,\ 3}$である。