[math]2017年東京大学文理共通文系問題4理系数学問題4

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2021.12.28

問題
方針
解答
解説
関連問題

問題

$p = 2 + \sqrt{5}$とおき、自然数$n = 1, 2, 3, \cdots$に対して$$a_n = p^n + \left(-\frac{1}{p}\right)^n$$と定める。以下の問に答えよ。ただし設問$(1)$は結論のみを書けば良い。
$(1)$ $a_1, a_2$の値を求めよ。
$(2)$ $n\geq 2$とする。積$a_1a_n$を、$a_{n+1}$と$a_{n-1}$を用いて表わせ。
$(3)$ $a_n$は自然数であることを示せ。
$(4)$ $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ。

方針

$(2)$は特性方程式を考えると結論は先にわかる。

解答

$(1)$ $\displaystyle -\frac{1}{p} = 2-\sqrt{5}$となる。$$\begin{eqnarray}a_1 & = & (2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5}) \\ & = & 4 \\ a_2 & = & (2+\sqrt{5})^2+(2-\sqrt{5})^{2} \\ & = & 18 \end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ $$\begin{eqnarray}a_{n+1} & = & (2+\sqrt{5})^{n+1}+ (2-\sqrt{5})^{n+1} \\ & = & (2+\sqrt{5})\{a_n-(2-\sqrt{5})^n\} + (2-\sqrt{5})\{a_n-(2+\sqrt{5})^n\} \\ & = & 4a_n+\{(2+\sqrt{5})^{n-1}+(2-\sqrt{5})^{n-1}\} \\ & = & 4a_n + a_{n-1}\end{eqnarray}$$である。よって、$\underline{a_1a_n = -a_{n-1}+a_{n+1}}$となる。

$(3)$ $(2)$から$a_{n+1} = 4a_n + a_{n-1}\ (n\geq 2)$で、$a_1 = 4, a_2 = 18$であるから、帰納的に$a_n$は自然数になる。

$(4)$ $(3)$から$a_n$は増加する自然数列で、$$a_{n+1}=4a_{n}+a_{n-1}$$であるから、Euclidの互除法から$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数は$a_n$と$a_{n-1}$の最大公約数と等しい。したがって、$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数は$a_2$と$a_1$の最大公約数に等しく、これは$\underline{2}$である。

解説

$(1)$は間違うことはできない。

$(2)$ 解答の式変形は多少巧妙かも知れない。ものすごく素直に問題文に従うと、$$\begin{eqnarray}a_1a_n & = & \left(p-\frac{1}{p}\right)\left\{p^n + \left(-\frac{1}{p}\right)^n\right\} \\ & = & p^{n+1}-\left(\frac{1}{p}\right)^{n-1}-p^{n-1}+\left(-\frac{1}{p}\right)^{n+1} \\ & = & a_{n+1}-a_{n-1}\end{eqnarray}$$がわかる。

ところで、数列$\{x_n\}$が$x_n = p{\alpha}^n +q{\beta}^n$の形で表されるとき、$x_n$の特性方程式は$t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta = 0$となる。この問題の場合、$\displaystyle a_n = p^n + \left(-\frac{1}{p}\right)^n$だから、$$\begin{cases}p-\frac{1}{p} = 4 \\ p\cdot \left(-\frac{1}{p}\right) = -1\end{cases}$$に注意して、$a_n$の特性方程式は$t^2-4t-1 = 0$となる。このことから、$a_n$が漸化式$a_{n+1}-4a_n-a_{n-1} = 0$を満たすことがわかるのである。結論がわかっていれば、計算ミスも防げるだろう。

$(3)$ は単なる帰納法の練習問題になる。

$(4)$も互除法を理解していれば難しくない。

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