[math]2006年京都大学理系後期数学問題5

math

2021.12.29

問題
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関連問題

問題

$H > 0, R > 0$とする。空間内において、原点$O$と点$P(R, 0, H)$を結ぶ線分を、$z$軸のまわりに回転させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さが$h$のとき単位時間あたりの排水量が、$\sqrt{h}$となるように水を排出する。すなわち、時刻$t$までに排出された水の総量を$V(t)$とおくとき、$\displaystyle \frac{dV}{dt} = \sqrt{h}$が成り立つ。このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ。

方針

一回も解いたことが無いと水の問題は試験場では厳しいから、何処かで慣れておかないといけない。京大以外にも他の難関大学でしばしば出題されることがある。基本的な考え方さえ押さえておけば面白いように解くことが出来るので、ここで慣れておくと良い。

解答

微小時間$dt$における水の排出量は、図の$r$を用いると$\pi r^2\cdot(-dh)$である。

したがって、$$1:\sqrt{h} = dt:-\pi r^2 dh $$である。$H: R = h:r$より$\displaystyle r = \frac{R}{H}r$となるから、上の式に代入して、$$dt\sqrt{h} = -\pi \left(\frac{R}{H}r\right)^2 dh$$である。整理して、$$dt = -\frac{\pi R^2}{H^2}h^{\frac{3}{2}}dh$$となる。両辺を積分して、$$t = -\frac{2\pi R^2}{5H^2}h^{\frac{5}{2}}+C$$となる。ただし、$C$は積分定数である。$t= 0$で$h = H$だったから、$\displaystyle C = \frac{2\pi R^2}{5}\sqrt{H}$がわかる。以上から、$h = 0$となる時間は$\displaystyle C = \underline{\frac{2\pi R^2}{5}\sqrt{H}}$である。

解説

水の問題で覚えるべきは唯一つで、

微小時間$dt$で排出（あるいは貯まる）水の量 $ = $水面の表面積$\times$微小距離$dh$

のみである。水の問題では、水面が水平を保ちながら徐々に水が減っていく（あるいは増えていく）訳だから、微小時間$dt$の後に減少（あるいは増加）する水の体積は、水面の面積に微小高さを掛けたものになる、ということである。一回飲み込んでしまえばごく当たり前のなのだが、初めは中々難しく感じるかも知れない。式が立った後は微分方程式を解くだけとなる。積分すると積分定数が現れることに注意する。