[math]2015年東京大学理系数学問題1

問題

正の実数\(a\)に対して、座標平面上で次の放物線を考える。$$C: y = ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}$$\(a\)が正の実数全体を動くとき、\(C\)の通過する領域を図示せよ。

方針

問題を言い換えると、\(\displaystyle y = ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}\)を満たす正の実数\(a\)が存在するような\((x, y)\)の条件を求めよ、ということになる。

解答

与えられた方程式を変形して、$$\begin{eqnarray}y & = & ax^2+\frac{1-4a^2}{4a}\\ 4ay & = & 4a^2x^2 + 1-4a^2 \end{eqnarray}$$であるから、$$4(x^2-1)a^2-4ya + 1 = 0$$である。\(f(a) = 4(x^2-1)a^2-4ya+1\)とおく。\(f(a) = 0, a> 0\)となるような実数\(a\)が存在するような\(x, y\)の条件を求める。\(x = \pm1\)の時、\(f(a) = -4ya+1\)となる。\(-4y > 0\)ならば\(f(a) = 0\)の解は負となり、\(y = 0\)ならば\(f(a) = 1\)となり、どちらも\(f(a) = 0\)を満たす正の実数\(a\)は存在しない。\(-4y < 0\)の時、\(\displaystyle a = \frac{1}{4y}> 0\)は\(f(a) = 0\)を満たす。

\(x \ne \pm 1\)の時、\(f(a) = 0\)の判別式を\(D\)とすると、$$\begin{eqnarray}D & = & 4y^2-4(x^2-1) \\ & = & 4(-x^2+y^2+1)\end{eqnarray}$$であるから、\(-x^2+y^2+1 < 0\)の時は\(f(a) = 0\)を満たす実数が存在しない。したがって、\(-x^2+y^2+1 \geq 0\)が必要で、この時$$\begin{eqnarray}f(a) & = & 4(x^2-1)\left(a^2-\frac{y}{x^2-1}a\right) + 1\\ & = & 4(x^2-1)\left(a-\frac{y}{2(x^2-1)}\right)^2 – \frac{y^2}{x^2-1} + 1 \end{eqnarray}$$となる。\(f(0) = 1 > 0\)なので、\(f(a) = 0\)が\(a > 0\)となる実数解をもつ条件は、$$\begin{cases} 4(x^2-1) > 0 \\\frac{y}{2(x^2-1)} \geq 0 \end{cases}$$または$$\begin{eqnarray}4(x^2-1) < 0 \end{eqnarray}$$となる。

以上を整理すると、\(x = \pm 1\)の時は\(y > 0\)、\(x < -1, 1 < x\)の時は\(-x^2+y^2+1\geq0, y > 0\)、\(-1<x<1\)の時は\( -x^2+y^2+1\geq 0\)であるから、図示すると以下の灰色の領域の様になる。ただし、\(x = \pm 1, y < 0\)の境界は含まない。

解説

\(2\)次方程式の解の公式や判別式を持ち出すときには、必ず\(2\)次の係数が\(0\)でないことを確認しないといけない。でないと、全く理解していないものと判断され、いくら減点されても文句は言えない。

問題を言い換えると、方針のようになるが、結局\(2\)次方程式の解の配置の問題に帰着される。