問題
\(a, b, c, p\)を実数とする。不等式$$\begin{eqnarray}ax^2+bx+c & > & 0 \\ bx^2+cx+a & > & 0 \\ cx^2+ax+b & > & 0\end{eqnarray}$$をすべて満たす実数\(x\)の集合と、\(x > p\)を満たす実数\(x\)の集合が一致しているとする。
\((1)\) \(a, b, c\)はすべて\(0\)以上であることを示せ。
\((2)\) \(a, b, c\)のうち少なくとも\(1\)個は\(0\)であることを示せ。
\((3)\) \(p = 0\)であることを示せ。
方針
\((1)\)も\((2)\)も背理法で示す。
解答
\((1)\) 例えば\(a < 0\)と仮定して、\(f(x) = ax^2+bx+c\)と置く。\(x > p\)となる実数\(x\)の中で、十分大きいもの（\(x\to \infty\)）を取ってくると、\(f(x) < 0\)となり、\(ax^2+bx + c > 0\)は満たさない。したがって、題意のように不等式を満たす\(x\)の集合と\(x > p\)を満たす\(x\)の集合が一致することはない。なので\(a\geq 0\)が必要で、同様に\(b\geq 0, c\geq 0\)となる。
\((2)\) \(a, b, c\)の中に\( = 0\)となるものが無いと仮定すると、\((1)\)より\(a > 0, b > 0, c > 0\)である。特に、\(a > 0\)であることに注意する。この時、\(x \to -\infty\)で\(f(x) > 0\)となるので、題意のように不等式を満たす\(x\)の集合と\(x > p\)を満たす\(x\)の集合が一致することはない。なので、\(a, b, c\)のうち少なくとも\(1\)個は\(0\)である。
\((3)\) \((2)\)より\(a, b, c\)のうち少なくとも\(1\)個は\(0\)なので、対称性から\(a = 0\)としても一般性を失わない。すると、与えられた不等式は$$\begin{eqnarray}bx + c & > & 0 \\bx^2+cx & > & 0 \\ cx^2 + b & > & 0\end{eqnarray}$$となる。
\((i)\) \(b = 0\)の時、与えられた不等式はさらに$$\begin{eqnarray}c & > & 0\\ cx & > & 0\\ cx^2 & > & 0\end{eqnarray}$$と変形できる。\(c \leq 0\)の時はこの不等式を満たす\(x\)は存在しない。\(c > 0\)の時はこの不等式を満たす\(x\)は\(x > 0\)である。
\((ii)\) \(b \ne 0\)の時、\((1)\)から\(b > 0\)であり、与えられた不等式はさらに$$\begin{eqnarray}bx+c & > & 0 \\ x(bx+c) & > & 0\\ cx^2+b & > & 0 \end{eqnarray}$$と変形できる。一番目と二番目から\(x > 0\)が必要で、この時三番目の不等式は満たされる。
以上から、\((i), (ii)\)どちらの時も\(p = 0\)となることがわかる。
解説
極端に難しく感じた受験生も多かったことだろう。\((1)\)も\((2)\)も背理法で示すが、背理法なので極端な例で成り立たないことを言えれば良い。\((1)\)ではそれが十分大きな\(x\)であり、\((2)\)では十分小さな\(x\)という訳である。
この問題は二次関数の特徴をフルに用いたものであるが、ちなみに以下のような問題はどうなるだろうか？余裕のある人は考えてみると良い練習になるだろう。
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