問題
次の条件を満たす組\(x, y, z\)を考える。
条件\((A)\): \(x, y, z\)は正の整数で、\(x^2+y^2+z^2=xyz\)および\(x\leq y\leq z\)を満たす。
以下の問に答えよ。
\((1)\) 条件\((A)\)を満たす組\((x, y, z)\)で、\(y\leq 3\)となるものをすべて求めよ。
\((2)\) 組\((a, b, c)\)が条件\((A)\)を満たすとする。このとき、組\((b, c, z)\)が条件\((A)\)を満たすような\(z\)が存在することを示せ。
\((3)\) 条件\((A)\)を満たす組\((x, y, z)\)は、無数に存在することを示せ。
方針
順番に解いてみる。
解答
\((1)\) \((i)\) \( y = 1\)の時、条件\((A)\)の式は\(x^2+z^2+1=xz\)となる。変形して、\(z^2-xz+x^2+1=0\)となる。これを\(z\)についての二次方程式とみると、このような\(z\)が存在するために、\(D = x^2-4(x^2+1) = -3x^2-4\geq 0\)が必要である。しかし、このような\(x\)は存在しない。
\((ii)\) \(y = 2\)の時、条件\((A)\)の式は\(x^2+z^2+4 = 2xz\)となる。変形して、\(z^2-2xz+x^2+4 = 0\)となる。これを\(z\)についての二次方程式とみると、このような\(z\)が存在するために、\(D = 4x^2-4(x^2+4) = -16\geq 0\)が必要である。しかし、このような\(x\)は存在しない。
\((iii)\) \(y = 3\)の時、条件\((A)\)の式は\(x^2+z^2+9 = 3xz\)となる。変形して、\(z^2-3xz+x^2+9=0\)となる。これを\(z\)についての二次方程式とみると、このような\(z\)が存在するために、\(D = 9x^2-4(x^2+9) = 5x^2-36\geq 0\)が必要である。\(x\leq y\)より\(x\leq 3\)であることに注意すると、このような\(x\)は\(x = 3\)のみである。このとき、\(z^2+18 = 9z\)から、\((z-3)(z-6) = 0\)となる。よって、\(z = 3, 6\)である。
以上より、求める答えは\(\underline{(x, y, z) = (3, 3, 3), (3, 3, 6)}\)である。
\((2)\) \(b^2+c^2+z^2= bcz (b\leq c\leq z)\)と\(a^2+b^2+c^2=abc (a\leq b\leq c)\)との差を作ると、\(z^2-a^2 = bcz-abc\)となる。これを変形すると、$$(z-a)(z+a-bc) = 0$$となる。したがって、題意のような\(z\)が存在すると仮定すると、\(z = a, -a+bc\)となるが、$$\begin{eqnarray}(-a+bc)-c & = & c(b-1)-a \\ & \geq & a(a-1)-a \\ & = & a(a-2)\end{eqnarray}$$である。\((1)\)より\(a\geq 3\)がわかるから、この値は負にはならない。以上より、\((x, y, z) = (b, c, -a + bc)\)は条件\((A)\)を満たす組の一つになる。
\((3)\) 条件\((A)\)を満たす\((x, y, z) = (a, b, c)\)に対して、\((X, Y, Z) = (b, c, -a+bc)\)とすると、\(X\leq Y\leq Z\)であり、\(z < Z\)である。また、\((1)\)より少なくとも一つ条件\((A)\)を満たす\((x, y, z)\)の組は存在する。よって、条件\((A)\)を満たす\((x, y, z)\)は無数に存在する。
解説
誘導が丁寧なので難しくは無いと思う。いきなり\(x^2+y^2+z^2=xyz\)を満たす整数解が無限に存在することを示せ、と言われたら手も足も出ないだろうが。\((1)\)は場合分けして地道に解く。\((2)\)はあらかじめそのような\(z\)が存在するものとして、書き出してしまうのが簡単だ。\((3)\)は\((2)\)の意味がわかれば難しくない。
関連問題
なし
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