[math]2004年東京医科歯科大学前期数学問題1

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問題

次の条件$(A), (B)$を満たす関数$f_n(x) (n=1, 2, 3, \cdots)$を考える。
$(A)$ $f_n(x)$は$x$の$n$次式で表される。
$(B)$ 任意の実数$\theta$に対して次式が成立する。$$f_n(2\cos{\theta})\sin{\theta} = \sin{(n+1)\theta}$$このとき以下の問に答えよ。
$(1)$ $f_1(x), f_2(x)$を求めよ。
$(2)$ 次の極限値を求めよ。ただし$k$は正の定数とする。$$\lim_{\theta\to0}{\frac{\sin{k\theta}}{\sin{\theta}}}$$
$(3)$ $f_n(2)$を求めよ。
$(4)$ 整式$f_n(x)$を$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$ax-25$のとき、次数$n$および定数$a$を求めよ。

方針

丁寧な誘導があるので、従うのが良い。

解答

$(1)$ 条件$(B)$から$f_1(2\cos{\theta})\sin{\theta} = \sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}$である。任意の実数$\theta$に対してこれが成り立つので、$\underline{f_1(x) = x}$である。同様に条件$(B)$から$f_2(2\cos{\theta})\sin{\theta} = \sin{3\theta} = \sin{\theta}(4\cos^2{\theta}-1)$である。任意の実数$\theta$に対してこれが成り立つので、$\underline{f_2(x) = x^2-1}$である。

$(2)$ 求める極限値は、$$\begin{eqnarray}\lim_{\theta \to 0}{\frac{\sin{k\theta}}{\sin{\theta}}} & = & \lim_{\theta\to 0}{\left(\frac{\sin{k\theta}}{k\theta}\cdot \frac{\theta}{\sin{\theta}}\cdot k\right)} \\ & \to & \frac{1}{1}\cdot k (\theta \to 0)\\ & = & k\end{eqnarray}$$となる。答えは$\underline{k}$である。

$(3)$ 条件$(B)$から$\sin{\theta}\ne 0$のとき$\displaystyle f_n(2\cos{\theta}) = \frac{\sin{(n+1)\theta}}{\sin{\theta}}$であるが、この式で$\theta \to 0$とすることで、$(2)$から$\underline{f_n(2) = n+1}$であることがわかる。

$(4)$ $$f_n(x) = (x^2-3x+2)g_n(x)+ax-25 \tag{a}$$と置く。式$(a)$で$x=2$として、$(3)$から$f_n(2) = 2a-25 = n+1$である。また条件$(B)$で$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$とすると、$\displaystyle f_n(1)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin{\frac{n+1}{3}\pi}$であるから、式$(a)$で$x=1$として$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sin{\frac{n+1}{3}\pi} = a-25$である。まとめると、$$\begin{cases}2a = n+26\\ a = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin{\frac{n+1}{3}\pi}+25\end{cases}$$となる。$a$を消去すると、$$\frac{n+26}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sin{\frac{n+1}{3}\pi} + 25 \tag{b}$$である。ここで、$n = 1, 2, 3, \cdots$のとき$$\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sin{\frac{n+1}{3}\pi} = 1, 0, -1, -1, 0, 1, \cdots $$となり$1, 0, -1, -1, 0, 1$を繰り返す。詳しく言うと、$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sin{\frac{n+1}{3}\pi}$の値は、$n$を$6$で割った余りが$1, 0$のときには$1$、$n$を$6$で割った余りが$2, 4$のときには$0$、$n$を$6$で割った余りが$3, 4$のときには$-1$となる。
$(a)$ $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sin{\frac{n+1}{3}\pi} = 1$のとき、$n\equiv 1, 0 \pmod{6}$である。一方、式$(b)$から$\displaystyle \frac{n+26}{2} = 1+25$より$n = 26$となるが、これは$n\equiv 1, 0 \pmod{6}$に反する。
$(b)$ $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sin{\frac{n+1}{3}\pi} = 0$のとき、$n\equiv 2, 4 \pmod{6}$である。一方、式$(b)$から$\displaystyle \frac{n+26}{2} = 0+25$より$n = 24$となるが、これは$n\equiv 2, 4 \pmod{6}$に反する。
$(c)$ $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sin{\frac{n+1}{3}\pi} = -1$のとき、$n\equiv 3, 4 \pmod{6}$である。一方、式$(b)$から$\displaystyle \frac{n+26}{2} = -1+25$より$n = 22$となるが、これは$n\equiv 4 \pmod{6}$を満たす。このとき、$a = 24$である。

以上より、$\underline{n=22, a=24}$が答えとなる。

解説

チェビシェフの多項式を題材にした問題だが、それほど難しくない。差がつくのは$(4)$くらいだが、$n$を$6$で割った剰余を考えれば解決する。

[math]2004年東京医科歯科大学前期数学問題1

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