[math]1991年度京都大学後期理系理学部専用問題

問題
方針
解答
解説
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問題

$f(x)$は$x$に関する$n$次の整式（多項式）とする（$n\geq 0$）。
$(1)$ $2$変数$x, y$の整式として$$f(x+y) = P_0(x) + P_1(x)y+P_2(x)y^2+\cdots +P_n(x)y^n$$と書き表す。ただし$P_i(x)\ (i=0, 1, 2, \cdots, n)$は$x$に関する整式である。このとき$\displaystyle P_0(x)=f(x), P_1(x)=f^{\prime}(x), P_2(x) = \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x)$かつ$P_n(x) = $「$f(x)$における$x^n$の係数」であることを示せ。
$(2)$ ある定数$c$があって、$f(x+y) – f(x) = yf^{\prime}(x+cy)$が成立すれば$f(x)$の次数は$2$以下であることを示せ。

方針

$x$か$y$のどちらかを定数とみて、もう片方で微分する。

解答

$(1)$ $$f(x+y) = P_0(x)+P_1(x)y + P_2(x)y^2+\cdots P_n(x)y^n \tag{a}$$とする。式$(a)$で$y = 0$として、$\underline{f(x) = P_0(x)}$である。式$(a)$の両辺を$y$で微分して、$$f^{\prime}(x+y) = P_1(x) + 2P_2(x)y + 3P_3(x)y^2 + \cdot +nP_n(x)y^{n-1} \tag{b}$$である。式$(b)$で$y = 0$として、$\underline{P_1(x) = f^{\prime}(x)}$である。式$(b)$の両辺を$y$で微分して、$$f^{\prime\prime}(x+y) = 2P_2(x) + 6P_3(x) + \cdots + n(n-1)P_n(x)y^{n-2} \tag{c}$$である。式$(c)$で$y = 0$として、$\displaystyle \underline{P_2(x) = \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x)}$である。また、$$f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0\ (a_n\ne 0)$$とすると、$f^{(n)}(x) = n!a_n$だから、$$a_n = \frac{f^{(n)}(x)}{n!} \tag{d}$$がわかり、他方式$(c)$の両辺を$y$で$n-2$回微分して、$$f^{(n)}(x+y) = n!P_n(x) \tag{e}$$となり、式$(e)$で$y = 0$として、$$P_n(x) = \frac{f^{(x)}(x)}{n!} \tag{f}$$となるから、式$(d), (f)$から確かに$P_n(x) = $「$f(x)$におけおる$x^n$の係数」となる。

$(2)$ $f(x) = P_0(x)$と式$(a)$から、$$f(x+y)-f(x) = y(P_1(x)+P_2(x)y + \cdots + P_n(x)y^{n-1}) \tag{g}$$である。式$(b)$で$y$を$cy$で置き換えてから両辺に$y$を掛けると、$$yf^{\prime}(x+cy) = y(P_1(x)+2cP_2(x)cy + \cdots + nP_n(x)c^{n-1}y^{n-1}) \tag{h}$$である。式$(g), (h)$から、$$\begin{cases}P_2(x) = 2P_2(x)c \\ P_n(x) = nP_n(x)c^{n-1}\end{cases} \tag{i}$$である。$P_n(x)$は$f(x)$における$x^n$の係数であったから、$P_n(x)\ne 0$であることに注意すると、式$(i)$の下の式から$$1 = nc^{n-1}\tag{j}$$を得る。
$(i)$ $P_2(x)=0$とすると、問$(1)$から$f^{\prime\prime}(x) = 0$となり、$f^{\prime}(x)$は定数で、$f(x)$は$1$次関数となる。
$(ii)$ $P_2(x)\ne 0$とすると、式$(i)$の上の式から$$1=2c \tag{k}$$となる。式$(j), (k)$から$\displaystyle c = \frac{1}{2}, n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=1$となる。$\displaystyle x_n = n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$とする。このとき、$$\begin{eqnarray}\frac{x_{n+1}}{x_n} & = & \frac{n+1}{2n} \\ & \leq & 1 \ (n\geq 1)\end{eqnarray}$$である。よって、$x_n$は非増加列で、$\displaystyle x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = \frac{3}{4}, \cdots$となるから、$x_n = 1$となる$n$は$n=1$か$n=2$のみである。以上から$n\leq 2$となり、$f(x)$の次数は$2$以下である。

解説

難問である。実力のある受験生でもまっすぐ進むことは難しい。先ず$(1)$であるが、$x$か$y$のどちらかを変数、どちらかを定数と見て固定して変数の方を微分する。続いて$(2)$であるが、これは難しく、どこまで追求すればいいのかが課題となる。解答の$x_n$を得てからも、それが減少数列であることの証明など関門は多い。yについて$3$次の係数まで考えこれを比較すると、解答よりは楽に解くことが出来る。理学部専用とあるが、一時期京都大学では理学部専用問題が出題されていた。近年、数学だけが出題される理学部専用の入試が復活している。

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