[math]1987年東京医科歯科大学数学問題2

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2022.04.122022.01.27

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問題

$1$から$m$までの番号が$1$つずつ書いてある$m$枚のカードが入っている箱がある。この箱から $1$ 枚ずつ取り出してはまたもとに戻す操作を$n$ 回くり返し、第$i$回目に取り出されたカードの番号を$a_i$とする。$a_1\geq a_2\geq \cdots a_n$となる確率を$p(m, n)$で表すとき、次の値を求めよ。
$(1)$ $p(2, n)$
$(2)$ $p(3, n)$
$(3)$ $p(4, 7)$
$(4)$ $p(4, n)$

方針

何回も同じことを繰り返すよりも一気に解いてしまう方が良い。

解答

$$a_1\geq a_2 \geq \cdots a_n$$を同値変換すると、$$1\leq a_n< a_{n-1}+1<a_{n-2}+2<\cdots < a_2+(n-2)<a_{1}+(n-1)\leq m+n-1$$となる。つまり、この問題の場合の数は、$1$から$m+n-1$までの整数の中から$n$個を選んで小さい順に$a_n, a_{n-1}+1, a_{n-2}+2, \cdots, a_1+n-1$とするような組み合わせの個数である。そのような選び方$_{m+n-1}\mathbb{C}_n$通りである。全体のカードの選び方は$m^n$通りであるから、求める確率は$\displaystyle p(m, n) = \frac{_{m+n-1}\mathbb{C}_{n}}{m^n}$となる。答えは以下のとおりである。
$(1)$ $\displaystyle p(2, n) = \frac{n+1}{2^n}$
$(2)$ $\displaystyle p(3, n) = \frac{(n+2)(n+1)}{2\cdot 3^n}$
$(3)$ $\displaystyle p(4, 7) = \frac{15}{2048}$
$(4)$ $\displaystyle p(4, n) = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6\cdot 4^n}$

解説

いやな問題で、最初に一般的に解こう、と決めれば高得点をあげることが出来るが、$(1)$から順番に考えていくと嵌ってしまう。この年の全体的な難易度を考えると、医学科の受験生ならばこの問題は完答しておきたいところである。まず、この問題は確率の問題ではなく、場合の数の問題と認識することが重要である。全体の場合の数は、$m^n$通りとすぐに分かるので、$$a_1\geq a_2\geq \cdots a_n$$となるような場合の数を求めればよい。このままだと数えにくいので、同値である$$1\leq a_n<a_{n-1}+1<a_{n-2}+2<\cdots < a_2+(n-2)<a_1+(n-1)\leq m+n-1$$と言い換えてしまう。こうすることで問題を$1$から$m+n-1$の中から異なる$n$個を選ぶ場合の数を求めるというように、簡単にすることが出来る。後はそうして選んだ整数を小さい方から順に、$$a_n, a_{n-1}+1, a_{n-2}+2, \cdots, a_1+n-1$$とすれば$a_i$が一意に定まる。巧妙な考え方であるが、医科歯科大ではこの考え方が決め手となる(知っていれば一発で解決できてしまう)という問題が過去数回出題されている。