[math]1987年東京医科歯科大学数学問題3

math

2022.01.27

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問題

関数$F(x)$を次のように定義する。$$\begin{eqnarray}F(x) & = & e^{f(x)}\\ f(x) & = & 2ag(x)-{(g(x))}^2 \\ g(x) & = & x-\mid x+7\mid + \mid x+3 \mid -\mid x-3 \mid + \mid x-7\mid\end{eqnarray}$$ただし、$a$は実数である。このとき以下の問に答えよ。
$(1)$ $F(x)$が最大となるような$x$の値はいくつあるか。
$(2)$ $F(x)$が最大となるような$x$のうち、最大のものを$u$とする。$u$は$a$の関数と考えられるので、それを$u = h(a)$とおく。この関数のグラフの概形をかけ。

方針

$g(x) = X$と置いてしまう。

解答

$(1)$ $g(x) = X$と置くと、$f(x) = -(X-a)^2+a^2$であるから、$g(x) = a$となるような$x$の個数が$F(x)$を最大にする$x$の個数となる。$y=g(x)$のグラフを描くと下の図のようになる。

したがって、求める$x$の個数は
$(i)$ $\mid a\mid > 3$なら$1$個
$(ii)$ $\mid a\mid = 3$なら$2$個
$(iii)$ $1<\mid a\mid < 3$なら$3$個
$(iv)$ $\mid a\mid = 1$なら$4$個
$(v)$ $\mid a\mid < 1$なら$5$個
となる。

$(2)$ $(1)$より$a<-3$のときは$a=u+8$であり、$-3\leq a<-1$のときは$a=u$であり、$a\geq -1$のときは$a=u-8$である。まとめると、$$u = \begin{cases}a-8(a<-3) \\ a (-3\leq a < -1) \\ a+8 (a\geq -1)\end{cases}$$となる。グラフは以下のようになる。ただし、点$(-3, -11)$および点$(-1, -1)$は除く。

解説

最初見るとギョッとしてしまうが、$y = g(x)$のグラフを描くとなんとなく構造が見えてくる。$g(x)$ はすべての実数値を取るので、$g(x) = a$ となる $x$ がどのようなものかを、 $a$ の値によって丹念に調べていけばいい。知識としては高校 $1$ 年生で習う$2$次関数以上のものは何もいらないがその部分をきちんと理解していたかどうかで、大きな差が出てしまいそうな良問である。$(2)$は$(1)$が出来ればおまけである。文字がたくさん出てくるが混同のないように。