問題
\(\alpha, \beta, \gamma\)がこの順に等差数列であり、\(\sin{\alpha}, \sin{\beta}, \sin{\gamma}\)がこの順に等比数列であるのはどのようなときか。
方針
素直に立式する。
解答
与えられた条件から、$$\begin{cases}2\beta = \alpha+\gamma\\ \sin^2{\beta} = \sin{\alpha}\sin{\gamma}\end{cases}$$となる。\(\cos\)の和積の公式から、$$\begin{eqnarray}\sin{\alpha}\sin{\gamma} & = & \frac{1}{2}\left(\cos{(\alpha-\gamma)}-\cos{(\alpha+\gamma)}\right)\\ & = & \frac{1}{2}\left(\cos{(\alpha-\gamma)}-\cos{2\beta}\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\cos{(\alpha-\gamma)}-2\cos^2{\beta}+1\right)\end{eqnarray}$$である。一方、与えられた条件から\(\sin^2{\beta}=\sin{\alpha}\sin{\gamma}\)であるから、$$\sin^2{\beta} = \frac{1}{2}\left(\cos{(\alpha-\gamma)}-2\cos^2{\beta}+1\right)$$となる。この式に\(\sin^2{\beta}=1-\cos^2{\beta}\)を代入して、$$1-\cos^2{\beta}=\frac{1}{2}\left(\cos{(\alpha-\gamma)-2\cos^2{\beta}+1}\right)$$である。整理すると、\(\cos{(\alpha-\gamma)}=1\)を得る。これから、\(m\)を整数として\(\alpha-\gamma = 2m\pi\)となり、この時\(\displaystyle \beta = \frac{\alpha+\gamma}{2} = \alpha-m\pi\)となる。以上より、与えられた条件を満たすのは\(\underline{(\alpha, \beta, \gamma) = (\alpha, \alpha-m\pi, \alpha-2m\pi)}\)となる。この時、$$\begin{eqnarray}\alpha+\gamma & = & 2\alpha-2m\pi \\ & = & 2\beta \\ \sin^2{\beta} & = & \sin^2{(\alpha-m\pi)} \\ & = & \sin^2{\alpha} \\ \sin{\alpha}\sin{\gamma} & = & \sin{\alpha}\sin{(\alpha-2m\pi)} \\ & = & \sin^2{\alpha}\end{eqnarray}$$となり、条件は満たされる。
解説
等比数列の条件については、$$\begin{eqnarray}\sin{\beta} & = & k\sin{\alpha}\ (k\ne 0) \\ \sin{\gamma} & = & k\sin{\beta}\end{eqnarray}$$などと置いて\(k\)を消去する。
関連問題
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