問題
すべては\(0\)でない\(n\)個の実数\(a_1, a_2, \cdots, a_n\)があり、\(a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_n\)かつ\(a_1+a_2+\cdots + a_n = 0\)を満たすとき、\(a_1+2a_2+\cdots +na_n > 0\)が成り立つことを示せ。
方針
条件から\(0\)より大きいものと、小さいものに分かれるはずである。
解答
\(n=1\)のときは\(a_1 = 0\)かつ全ては\(0\)でない、は矛盾するので\(n\geq 2\)とする。\(a_1+a_2+\cdots + a_n = 0\)であり、\(a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n\)だから、\(a_k \leq 0\leq a_{k-1}\)となる\(k\ (1\leq k\leq n-1)\)が存在する。すると、$$\begin{eqnarray}a_1+2a_2+\cdots ka_k & > & k(a_1+a_2+\cdots + a_k)\\ (k+1)a_{k+1}+(k+2)a_{k+2}\cdots na_n & > & k(a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots + a_n)\end{eqnarray}$$となるから、辺ごとに足して、$$a_1+2a_2+\cdots + ka_k + (k+1)a_{k+1}+\cdots + a_n > k(a_1+a_2+\cdots + na_n) = 0$$である。
解説
\(a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n\)なので、仮に\(a_1\geq 0\)とすると\(a_1+a_2+\cdots + a_n=0\)に反する。\(a_n\leq 0\)としても同様に矛盾を生じる。よって解答のように\(0\)をまたぐ\(a_k\)が存在する。
関連問題
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