[math]2003年東京大学理系後期数学問題3

問題
方針
解答
解説
関連問題

問題

$(1)$ すべての$n$について$a_n\geq 2$であるような数列$\{a_n\}$が与えられたとして、数列$\{x_n\}$に関する漸化式$$(A)\ x_{n+2}-a_{n+1}x_{n+1}+x_n = 0\ (n=0, 1, 2, \cdots) $$を考える。このとき自然数$m$を一つ決めて固定すれば、漸化式$(A)$をみたし、$x_0 = 0, x_m = 1$であるような数列$\{x_n\}$がただ一つ存在することを示せ。また、この数列について、$$0<x_n<1\ (n=1, 2, \cdots, m-1)$$が成り立つことを示せ。ただし$m$は$3$以上とする。
$(2)$ 数列$\{a_n\}$と正の定数$b$が与えられ、すべての$n$について$a_n\geq 1+b$が成り立つと仮定して、数列$\{y_n\}$に関する漸化式$$(B)\ y_{n+2}-a_{n+1}y_{n+1}+by_{n} = 0\ (n=0, 1, 2, \cdots)$$を考える。このとき、自然数$m$を一つ決めて固定すれば、漸化式$(B)$をみたし、$y_0 = 0, y_m = 1$であるような数列$\{y_n\}$がただ一つ存在して、$$0<y_n<1\ (n=1, 2, \cdots, m-1)$$が成り立つことを示せ。ただし$m$は$3$以上とする。
$(3)$ $c$を$2$より大きな定数として、すべての$n$について$a_n\geq c$が成り立つと仮定する。このとき、$c$から決まる$m$によらない正の定数$r$で$r<1$をみたすものが存在し、$(1)$で得られた数列$\{x_n\}$は$$x_n < r^{m-n}\ (n=1, 2, \cdots, m-1)$$をみたすことを示せ。

方針

$(1)$は$(2)$で$b=1$とした場合なので、まとめて解くのが良い。三項間漸化式の変形が役に立つ。

解答

$(1)$ $(2)$で$b=1$とした場合にあたり、$(2)$を示す。

$(2)$ $$z_{n+2}-a_{n+1}z_{n+1}+bz_n = 0\ z_0 = 0, z_1 = 1\ (n=0, 1, 2, \cdots) \tag{a}$$をみたす数列$\{z_n\}$を考える。$z_0, z_1$が与えられ、三項間漸化式が与えられているので、この数列は一意に定まる。式$(a)$を変形して、$$z_{n+2}-z_{n+1} = (a_{n+1}-1)z_{n+1}-bz_n$$である。ここで、ある$n$に対して$z_0 < z_1\leq z_2\leq \cdots \leq z_n\leq z_{n+1}$であることを仮定すると、$a_n\geq 1+b$より$$z_{n+2}-z_{n+1}\geq b(z_{n+1}-z_n) \tag{b}$$となり、$b>0$だから$z_{n+2}\geq z_{n+1}$となる。よって、帰納的に$z_n\geq z_{n-1}\geq \cdots z_1>z_0$となる。さて、決められた自然数$m$に対して$z_m = k\ (k\ne 0)$であったとしよう。このとき、$y_n$を$\displaystyle y_n=\frac{z_n}{k}$で定める。すると、$\displaystyle y_0=0, y_1 = \frac{1}{k}, y_m = 1$であり、数列$\{y_n\}$は式$(a)$の漸化式を満たす。さらに、$z_n$が非減少数列であることから、$y_n$も非減少数列であり、$\displaystyle y_0 = 0, y_1 = \frac{1}{k}, y_m = 1$であることから$0<y_n<1\ (n=0, 1, 2, \cdots, m-1)$が成り立つ。これらの議論から、題意を満たす数列$\{y_n\}$はただ一つで、上のように構成されることがわかる。

$(3)$ $(1)$の漸化式を変形して、$\displaystyle x_{n+1} = \frac{x_n+x_{n+2}}{a_{n+1}}$である。$(2)$より$(1)$の$x_n$も非減少数列であり、$x_n\leq x_{n+2}$で、$a_n\geq c>2$に注意すると、$$\begin{eqnarray}x_{n+1} & = & \frac{x_n+x_{n+2}}{a_{n+1}}\\ & \leq & \frac{2x_{n+2}}{a_{n+1}}\\ & < & \frac{2x_{n+2}}{c}\ (n=0, 1, 2, \cdots )\end{eqnarray}$$となる。$\displaystyle r = \frac{2}{c}$とすると、$c > 2$だから$r < 1$で、$$x_n < rx_{n+1}\ (n=1, 2, 3, \cdots)$$である。これを繰り返し使って、$$x_n<rx_{n+1} < r^2x_{n+2}<\cdots <r^{m-n}x_{m} = r^{m-n}\ (n=1, 2, 3, \cdots, m-1)$$となる。すなわち、題意が成立する。

解説

難問であり、定型的でない。初めてこんな問題を解く、という受験生も多かったことだろう。与えられた漸化式から何をしたら良いのかが、見当がつきにくい。$(1)$は$(2)$で$b=1$とおいた問題だが簡単な訳でなく、結局一般的に通用する解答を作らなくてはいけない。また、$(3)$は$(1), (2)$とあまり関係なく解くことができる。なお、東大後期は2007年度をもって終了した。後期数学のテスト時間は、$3$題で$150$分であったので、一問あたりで$50$分かけることが出来た訳だが、時間無制限でも厳しい問題だと思われる。

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