問題
\(\mathbb{Z}^{4}\)を\(4\)つの整数\(a_1, a_2, a_3, a_4\)の組\((a_1, a_2, a_3, a_4)\)全体のなす集合とする。このとき、以下の条件をすべて満たすような\(\mathbb{Z}^4\)の部分集合\(S\)が存在することを示せ。
\((i)\) \((a_1, a_2, a_3, a_4)\in S\)ならば$$(a_1)^2-(a_2)^2+(a_3)^2-(a_4)^2 = 1$$が成り立つ。
\((ii)\) \(S\)は無限集合である。
\((iii)\) \(6\)つの整数の組\((d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6)\)で\((d_1, d_2, d_3, d_4) \ne (0, 0, 0, 0)\)をみたす任意のものに対し、\(S\)の部分集合
\(\{(a_1, a_2, a_3, a_4) \mid (a_1, a_2, a_3, a_4) \in S\) かつ
\(d_1a_1+d_2a_2 = d_5\)かつ\(d_3a_3+d_4a_4 = d_6\}\)は有限集合である。
方針
\(a_1 = pn+q, \cdots\)とするとうまく行かない。基底は\(4\)個必要だが、条件\((i)\)から自由度は\(3\)になるので、\(n\)を整数として\(1, n, n^2\)を取るとうまくいく。\(a_1\)と\(a_2\)および\(a_3\)と\(a_4\)の次元は変えた方が良いだろう。
解答
\(n\)を自然数として、\(a_1 = 12n^2+1, a_2=5n, a_3 = n, a_4 = 12n^2\)とすると、$$\begin{eqnarray}(a_1)^2-(a_2)^2+(a_3)^2-(a_4)^2 & = & (12n^2+1)^2-25n^2+n^2-(12n^2)^2 \\ & = & 144n^4+24n^2+1-25n^2+n^2-144n^4 \\ & = & 1\end{eqnarray}$$となり、条件\((i)\)が満たされる。また、条件\((ii)\)が満たされることは明らかである。条件\((iii)\)について、\(d_i\ (i=1, 2, \cdots, 6)\)が\(n\)を含まない定数だとすると、$$\begin{cases}a_1d_1+a_2d_2 & = & (12n^2+1)d_1+5d_2n \\ & = & d_5 \\ a_3d_3+a_4d_4 & = & d_3n+12d_4n^2 \\ & = & d_6\end{cases}$$である。整理すると、$$\begin{cases}12d_1n^2+5d_2n = d_5-d_1 \\ 12d_4n^2+d_3n = d_6 \end{cases}$$となる。\(d_1, d_2, d_3, d_4\)がすべて同時に\(0\)になることはないので、この式をみたす\(n\)は高々\(1, 2\)個で有限である。以上より、題意を満たすような\(S\)が構成できた。
解説
たとえば\((d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6) = (5, -12n, 12n, -1, 5, 0)\)とすると、$$\begin{eqnarray}d_1a_1+d_2a_2 & = & 5(12n^2+1)-12n(5n) \\ & = & 5 \\ & = & d_5 \\ d_3a_3+d_4a_4 & = & 12n\cdot n-12n^2 \\ & = & 0 \\ & = & d_6\end{eqnarray}$$となり、無限の\(n\)が条件\((iii)\)をみたす。なので、\(d_i\)は\(n\)を含まない任意の整数で、定数の組としてよいのだろう。でないと、\(a_1 = f_1(n), a_2 = f_2(n)\)とした時、\(f_1(n), f_2(n)\)が何次の整式であろうと、\(d_1 = f_2(n), d_2 = -f_1(n), d_5 = 0\)とすれば、\(d_1a_2+d_2a_2 = 0\)となって、無限の\(n\)が条件\((iii)\)を満たしてしまう。その意味で、この問題の作り方にはやや雑な印象を受ける。
解答の例は\(a_1 = n^2+1, 2n^2+1, 3n^2+1, \cdots\)などと適合に試してみて、\(a_1 = 3n^2+1\)を考えた時、\(a_4 = 3n^2\)とすると、$$(a_1)^2-(a_2)^2+(a_3)^2-(a_4)^2=1$$から$$\begin{eqnarray}(a_3)^2-(a_2)^2 & = & (a_3+a_2)(a_3-a_2) \\ & = & 6n^2 \end{eqnarray}$$となって、これをみたす適当な\(a_2, a_3\)として\(\displaystyle a_2=\frac{5n}{2}, a_3 = \frac{n}{2}\)が取れるが、整数にするために\(n = 2n\)と改めておいたものになる。
関連問題
なし。
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