[math]1998年京都大学前期数学理系問題3

問題
方針
解答
解説
関連問題
関連リンク

問題

四面体$OABC$の辺$OA$上に点$P$、辺$AB$上に点$Q$、辺$BC$上に点$R$、辺$CO$上に点$S$をとる。これらの$4$点をこの順序に結んで得られる図形が平行四辺形となるとき、この平行四辺形$PQRS$の$2$つの対角線の交点は$2$つの線分$AC$と$OB$のそれぞれ中点を結ぶ線上にあることを示せ。

方針

ベクトルの問題として解く。

解答

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$などと置く。問題文の条件を式にすると、$$\begin{cases}\overrightarrow{p} = p\overrightarrow{a}\ (0<p<1)\\ \overrightarrow{q} = (1-q)\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}\ (0<q<1) \\ \overrightarrow{c} = (1-r)\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}\ (0<c<1)\\ \overrightarrow{s} = (1-s)\overrightarrow{c}\ (0<s<1)\end{cases}$$である。四角形$PQRS$は平行四辺形だから、$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}$である。よって、$$(1-p-q)\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}=(1-r)\overrightarrow{b}+(r+s-1)\overrightarrow{c}$$が成り立つ。$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$は一次独立なので、$$\begin{cases}1-p-q = 0 \\ q=1-r \\0 = r+s-1\end{cases}$$である。これから$q=1-p, r = p, s = 1-p$となる。よって、$$\begin{cases}\overrightarrow{p} = p\overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{q} = p\overrightarrow{a} + (1-p)\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{r} = (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} \\ \overrightarrow{s} = p\overrightarrow{c}\end{cases}$$となる。平行四辺形$PQRS$の対角線の交点は$\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}+\overrightarrow{r}}{2}$または$\displaystyle \frac{\overrightarrow{q}+\overrightarrow{s}}{2}$で、これは$\displaystyle \frac{p}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1-p}{2}\overrightarrow{b}+\frac{p}{2}\overrightarrow{c}$である。変形して、$\displaystyle p\cdot \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}}{2}+(1-p)\cdot \frac{\overrightarrow{b}}{2}\ (0<p<1)$となり、交点が線分$AC$の中点と線分$OB$の中点を結ぶ線上にあることがわかる。