[math]2012年東京医科歯科大学前期数学問題3

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問題

関数$f(x) = x^3-x^2+x$について、以下の各問に答えよ。
$(1)$ $f(x)$はつねに増加する関数であることを示せ。
$(2)$ $f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく。$x > 0$について$$\sqrt[3]{x}-1<g(x)<\sqrt[3]{x}+1$$が成立することを示せ。
$(3)$ $b>a>0$について$$0<\int_{a}^{b}{\frac{1}{x^2+1}dx}<\frac{1}{a}$$が成立することを示せ。
$(4)$ 自然数$n$について、$(2)$で定義された関数$g(x)$を用いて$$A_n = \int_{n}^{2n}{\frac{1}{(g(x))^3+g(x)}dx}$$とおくとき、極限値$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{A_n}$を求めよ。

方針

$(4)$が問題となる。置換積分法で$t=g(x)$などと置いてみる。

解答

$(1)$ $\displaystyle f^{\prime}(x) = 3x^2-2x+1 = 3\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3} > 0$だから、$f(x)$は単調増加である。

$(2)$ $t = \sqrt[3]{x}$とすると、$$\begin{eqnarray}f(t-1) & = & (t-1)^3-(t-1)^2+(t-1)\\ & = & t^3-4t^2+6t-3\\ f(g(x)) & = & x \\ & = & t^3\\ f(t+1) & = & (t+1)^3-(t+1)^2+(t+1)\\ & = & t^3+2t^2+2t+1\end{eqnarray}$$となる。$$\begin{eqnarray}t^3+2t^2+2t+1-t^3 & = & 2t^2+2t+1 \\ & = & 2\left(t+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} > 0 \\ t^3-(t^3-4t^2+6t-3) & = & 4t^2-6t + 3 \\ & = & 4\left(t-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{3}{4} > 0\end{eqnarray}$$となり、$(1)$から$f(x)$が単調増加であることと合わせて、$t-1<g(x)<t+1$が成り立つ。すなわち、$\sqrt[3]{x}-1<g(x)<\sqrt[3]{x}+1$が成り立つ。

$(3)$ 常に$\displaystyle 0< \frac{1}{x^2+1}$であるから、左側の不等式は成り立つ。また、$$\begin{eqnarray}\int_{a}^{b}{\frac{1}{x^2+1}dx} & < & \int_{a}^{b}{\frac{1}{x^2}dx} \\ & = & \left[-\frac{1}{x}\right]_{a}^{b} \\ & = & \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \\ & < & \frac{1}{a}\end{eqnarray}$$であるから、右側の不等式も成り立つ。

$(4)$ $t = g(x)$と置く。$f(t)=f(g(x))=x$から、$$t^3-t^2+t = x$$である。これから、$dx = (3t^2-2t+1)dt$となる。これより、$$\begin{eqnarray}A_n & = & \int_{g(n)}^{g(2n)}{\left(\frac{(3t^2-2t+1)}{t^3+t}\right)dt} \\ & = & \int_{g(n)}^{g(2n)}{\frac{3t^2+1}{t^3+t}dt}-\int_{g(n)}^{g(2n)}{\frac{2t}{t^3+t}dt} \\ & = & \left[\log{(t^3+t)}\right]_{g(n)}^{g(2n)}-\int_{g(n)}^{g(2n)}{\frac{2}{t^2+1}dt} \\ & = & \log{\left(\frac{(g(2n))^3+g(2n)}{(g(n))^3+g(n)}\right)}-2\int_{g(n)}^{g(2n)}{\frac{1}{t^2+1}dt} \end{eqnarray}$$となる。ここで、$(2)$から$$\begin{cases}\sqrt[3]{n}-1<g(n)< \sqrt[3]{n}+1 \\ \sqrt[3]{2n}-1<g(2n)<\sqrt[3]{2n}+1\end{cases}$$だから、$$\frac{\sqrt[3]{2n}-1}{\sqrt[3]{n}+1} < \frac{g(2n)}{g(n)} < \frac{\sqrt[3]{2n}+1}{\sqrt[3]{n}-1}$$となり、$n\to\infty$で$\displaystyle \frac{g(2n)}{g(n)}\to \sqrt[3]{2}$となる。また、$(3)$から$$0<\int_{g(n)}^{g(2n)}{\frac{t}{t^2+1}dt} < \frac{1}{g(n)}$$であるから、$n\to\infty$で$g(n)\to \infty$に注意すると、$\displaystyle \int_{g(n)}^{g(2n)}{\frac{1}{t^2+1}dt}\to 0$となる。以上より、$$\begin{eqnarray}A_n & = & \log{\frac{(g(2n))^3}{(g(n))^3}\cdot \frac{1+\frac{1}{(g(2n))^2}}{1+\frac{1}{(g(n))^2}}}-2\int_{g(n)}^{g(2n)}{\frac{1+t^2}{dt}} \\ & \to & 3\cdot \log{\sqrt[3]{2}} -2\cdot 0 \\ & = & \log{2}\end{eqnarray}$$がわかる。求める極限は$\underline{\log{2}}$である。

解説

$(2)$ $f(x)$の$g(x)$に対して、$f(g(x))=x$になる。これを失念するとどうしようもない。

$(4)$ $(2)$の不等式を用いて無理やり$$\int_{n}^{2n}{\frac{1}{(\sqrt[3]{x}\pm1)^3+(\sqrt[3]{x}\pm1)^3}dx}$$を計算するのもありだろう。計算量は多いが、$\sqrt[3]{x}\pm1 = u$などと置換することで計算は可能である。その場合も結局$(3)$を用いることになる。