[math]2022年武蔵中学校算数問題2

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2022.02.08

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問題

図のように、面積が$132cm^{2}$の平行四辺形$ABCD$があり、$BE:EC=1:2, GH:HD=2:3$です。次の各問に答えなさい。（式や考え方も書きなさい）。
$(1)$ 三角形$ABG$の面積を求めなさい
$(2)$ 五角形$GECFH$の面積を求めなさい。

方針

平行四辺形の問題では、相似な三角形に注目する。

解答

$(1)$ 下図の三角形$AGD$と$EGB$は相似である。$BE:EC=1:2$だから、$BE:DA = 1:3$になる。三角形$ABD$の面積は平行四辺形の半分で$132\div 2 = 66cm^{2}$だから、$$\begin{eqnarray}\triangle{ABG} & = & 66\times \frac{BG}{BD} \\ & = & 66\times \frac{1}{1+3} \\ & = & \underline{\frac{33}{2} (=16.5)cm^{2}}\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ $(1)$から$BG:GD=1:3$であるが、$GH:HD = 2:3$であるから、$\displaystyle BG:GH:HD=1:3\times\frac{2}{5}:3\times\frac{3}{5} = 5:6:9$である。したがって、$BH:HD=5+6:9 = 11:9$となる。下図から三角形$AHB$と$FHD$は相似である。以上から、$$\begin{eqnarray}\triangle{AGH} & = & \triangle{ABG}\times \frac{GH}{BG}\\ & = & \frac{33}{2}\times \frac{6}{5}\\ & = & \frac{99}{5}\\ \triangle{AHD} & = & \triangle{ABG}\times \frac{HD}{BG}\\ & = & \frac{33}{2}\times \frac{9}{5}\\ & = & \frac{297}{10}\end{eqnarray}$$となる。$AH:HF=BH:HD = 11:9$だから、$$\begin{eqnarray}\triangle{HDF} & = & \triangle{AHD}\times \frac{HF}{AH} \\ & = & \frac{297}{10}\times \frac{HD}{BH}\\ & = & \frac{297}{10}\times \frac{9}{11}\\ & = & \frac{243}{10}\end{eqnarray}$$である。最後に、$$\begin{eqnarray}\triangle{BGE} & = & \triangle{ABG}\times \frac{GE}{AG}\\ & = & \frac{33}{2}\times \frac{1}{3}\\ & = & \frac{11}{2}\end{eqnarray}$$である。五角形$GECFH$の面積は、$$\begin{eqnarray}ABCD-\triangle{ABD}-\triangle{BGE}-\triangle{HDF} & = & 132-66-\frac{11}{2}-\frac{243}{10}\\ & = & \underline{\frac{181}{5} (=36.2)cm^{2}}\end{eqnarray}$$となる。