問題
\(A, B\)\(2\)つの皿と、\(3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g\)の\(7\)つの分銅があり、\(9g\)の分銅は\(A\)にのせてあります。残りの\(6\)つの分銅も\(A, B\)どちらかの皿にのせます。ただし、\(B\)には少なくとも\(1\)個の分銅をのせるものとし、皿の重さは考えません。＜例＞のようなのせ方をしたとき、\(A\)だけに着目して\(\fbox{349}\)と表すことにします。そのとき、数字は小さい順に書きます。次の各問に答えなさい。（式や考え方も書きなさい）。
\((1)\) \(A, B\)の重さが等しくなるようなのせ方をすべて書きなさい。ただし、\(\fbox{349}\)のように、\(A\)だけに着目した表し方をしなさい。
\((2)\) \(B\)が\(A\)より重くなるのせ方は全部で何通りありますか。
\((3)\) \(A\)が\(B\)より重くなるのせ方は全部で何通りありますか。
方針
重りの重さの合計は\(3+4+5+6+7+8+9=42g\)となる。\(A\)と\(B\)の重さが等しいとき、\(21g\)づつになるはずである。
解答
\((1)\) \(A\)と\(B\)の重さが等しいとき、\(A\)も\(B\)も\(21g\)になる。\(A\)には\(9g\)の分銅がのっているので、残り\(12g\)である。\(3, 4, 5, 6, 7, 8\)の中から\(12g\)を作るには、\((8, 4), (7, 5), (5, 4, 3)\)と分銅をとればよい。答えは\(\underline{\fbox{4, 8, 9}, \fbox{5, 7, 9}, \fbox{3, 4, 5, 9}}\)である。
\((2)\) \(B\)が\(A\)より重いとき、\(B\)には\(22g\)以上分銅がのっている。\(A\)には\(9g\)の分銅がのっているので、残りは\(3, 4, 5, 6, 7, 8\)の分銅である。\(B\)に乗っている分銅が\(3\)個より少ないとすると、一番重くても\(6+7+8 = 21g\)で、\(A\)よりも重くならない。なので、\(B\)には\(4\)個以上の分銅がのっている。残りの分銅の重さの和は\(3+4+5+6+7+8=33g\)である。
\((i)\) \(B\)にのっている分銅が\(4\)個のとき、\(3, 4, 5, 6, 7, 8\)の分銅から\(2\)個取り除くと考えると、\(33-22=11\)に注意して（取り除く二つの合計が\(11\)を超えないようにする）、\(B\)にのっているのは\((5, 6, 7, 8), (4, 6, 7, 8), (4, 5, 7, 8), (4, 5, 6, 8), (4, 5, 6, 7), (3, 6, 7, 8), (3, 5, 7, 8), (3, 5, 6, 8), (3, 4, 7, 8)\)の\(9\)通りである。
\((ii)\) \(B\)にのっている分銅が\(5\)個のとき、\(3, 4, 5, 6, 7, 8\)のどの分銅を取り除いて\(A\)に乗せても、残りの分銅の重さの合計は\(A\)よりも重い。よって、\(6\)通りある。
\((iii)\) \(B\)にのっている分銅が\(6\)個のとき、\(1\)通りである。
\((i), (ii), (iii)\)から、\(B\)が\(A\)よりも重いのは\(9+6+1 = \underline{16}\)通りになる。
\((3)\) \(A, B\)への重りののせ方は、\(3, 4, 5, 6, 7, 8\)それぞれのおもりをのせるかのせないかが\(2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 64\)通りある。このうち、全部\(A\)におもりがのっている\(1\)通りをのぞいて、\(64-1 = 63\)通りである。\((1), (2)\)から、\(A\)が\(B\)よりも重くなるのは、\(63-3-16 = \underline{44}\)通りになる。
解説
\((2)\)は\(B\)に合計何個の重りがのっているかで場合を分けて考えると良い。
\((3)\)も具体的に数えてよいが、全体ののせ方は決まっているので、\(A\)が\(B\)よりも重い場合、\(B\)が\(A\)よりも重い場合、\(A\)と\(B\)の重さが等しい場合、の\(3\)通りに分けて考えると、\((1), (2)\)の答えが使える。
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