[math]1994年京都大学前期文系数学問題4

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2022.02.15

問題
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問題

さいころを$n$回続けて投げるとき、$k$回目に出る目の数を$X_k$とし、$Y_n = X_1+X_2+\cdots + X_n$とする。$Y_n$が$7$で割り切れる確率を$p_n$とする。
$(1)$ $p_n$を$p_{n-1}$を用いて表わせ。
$(2)$ $p_n$を求めよ。

方針

漸化式を立てなさいという誘導で、それに従う。

解答

$(1)$ $n\geq 2$とする。$Y_{n-1}$が$7$で割り切れるとき、さいころを振ってどんな目が出ても、$Y_n = Y_{n-1}+X_n$は$7$で割り切れない。$Y_{n-1}$が$7$で割って$i\ (i= 1, 2, 3, 4, 5, 6)$余るとき、さいころを振って$7-i$の目が出れば、$Y_n$は$7$で割り切れ、それ以外のときは$7$で割り切れない。したがって、$$\begin{eqnarray}p_n & = & p_{n-1}\cdot 0+(1-p_{n-1})\cdot \frac{1}{6} \\ & = & \underline{\frac{1-p_{n-1}}{6}}\end{eqnarray}$$である。

$(2)$ $p_1 = 0$である。$(1)$の漸化式を変形して、$$p_{n}-\frac{1}{7} = -\frac{1}{6}\left(p_{n-1}-\frac{1}{7}\right)$$である、したがって、$$\begin{eqnarray}p_n-\frac{1}{7} & = & \left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{7}\right)\\ & = & -\frac{1}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\end{eqnarray}$$となる。よって、$\displaystyle \underline{p_n = \frac{1}{7}\left(1-\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\right)}$となる。

解説

漸化式を立てる問題である。数字が$7$で割りきれるなので助かる。漸化式を立てた後の数列の解き方も問題ないだろう。なお、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{p_n} = \frac{1}{7}$になっているが、何回もサイコロを振っていくと、$Y_n$を$7$で割った余りは均等に$0$から$6$までのどれかになると考えられるので、自然な結果である。

なお、$1992$年度の京都大学の問題で、サイコロを振って出た数字の積を考える問題が出題されている。こちらはこの問題よりも多少難し目である。