[math]2015年東京工業大学前期数学問題1

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問題

数列$\{a_n\}$を$$a_1 = 5, a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2}\ (n=1, 2, 3, \cdots)$$で定める。また数列$\{b_n\}$を$$b_n = \frac{a_1+2a_2+\cdots + na_n}{1+2+\cdots + n}\ (n=1, 2, 3, \cdots)$$で定める。
$(1)$ 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
$(2)$ すべての$n$に対して、不等式$\displaystyle b_n \leq 3 + \frac{4}{n+1}$が成り立つことを示せ。
$(3)$ 極限値$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{b_n}$を求めよ。

方針

分数漸化式でも特性方程式を考えることが役に立つ。

解答

$(1)$ $\displaystyle t = \frac{4t-9}{t-2}$を解くと、$t = 3$となる。したがって、$$a_{n+1}-3 = \frac{a_n-3}{a_n-2} \tag{a}$$となる。今、$a_k = 3$となる$k$が存在すると仮定すると、$a_{k-1} = a_{k-2} = \cdots = a_1 = 3$となり、$a_1 = 5$に反する。したがって$a_n \ne 3$である。式$(a)$の両辺の逆数を考え、$$\frac{1}{a_{n+1}-3} = \frac{a_n-2}{a_n-3} = \frac{1}{a_n-3}+1$$である。$\displaystyle c_n = \frac{1}{a_n-3}$とすると、$\displaystyle c_1 = \frac{1}{2}$であり、$$c_{n} = (n-1)+c_1 = n-\frac{1}{2}$$となる。よって、$\displaystyle a_n = \frac{1}{c_n}+3 = \underline{\frac{6n-1}{2n-1}}$となる。これは$n=1$のときも成り立つ。

$(2)$ $(1)$から$\displaystyle a_n = \frac{1}{c_n}+3$であるから、$$\begin{eqnarray}b_n & = & \frac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}{ka_k} \\ & = & \frac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}{k\left(\frac{1}{c_k}+3\right)}\\ & = & \frac{2}{n(n+1)}\left(\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{c_k}}+\frac{3n(n+1)}{2}\right)\\ & = & 3+\frac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{c_k}} \tag{b}\end{eqnarray}$$である。したがって、$$b_n\leq 3+\frac{4}{n+1}$$を示すには、$$\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{c_k}}\leq 2n \tag{c}$$を示せば良い。$(1)$から$\displaystyle c_n = \frac{2n-1}{2}$であるから、$$\begin{eqnarray}\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{c_k}} & = & \sum_{k=1}^{n}{\frac{2k}{2k-1}} \\ & = & \sum_{k=1}^{n}{\frac{2k-1+1}{2k-1}}\\ & = & \sum_{k=1}^{n}{\left(1+\frac{1}{2k-1}\right)}\\ & = & n+\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots + \frac{1}{2n-1}\right) \\ & \leq & n + (1+1+1+\cdots + 1)\\ & = & 2n\end{eqnarray}$$となるから、式$(c)$が成り立つ。よって、すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n \leq 3+\frac{4}{n+1}$が成り立つ。

$(3)$ 式$(b)$から、$\displaystyle b_n-3 =\frac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{c_k}}$であるが、$\displaystyle c_n = n-\frac{1}{2}$だから、$b_n-3\geq 0$である。これと$(2)$から、$\displaystyle \underline{\lim_{n\to\infty}{b_n} = 3}$となる。