[math]1974年東京大学文理共通文系問題2理系問題2

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2022.02.22

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問題

長さ$l$の線分が、その両端を放物線$y=x^2$の上にのせて動く。この線分の中点$M$が$x$軸に最も近い場合の$M$の座標を求めよ。ただし、$l\geq 1$とする。

方針

座標を置いて考える。

解答

線分の両端の座標を$(p, p^2), (q, q^2)$とする。線分の長さは$l$だから、$$(p-q)^2+(p^2-q^2)^2 = l^2$$である。変形して、$$\begin{eqnarray}(p-q)^2(1+(p+q)^2) & = & l^2\\ ((p+q)^2-4pq)(1+(p+q)^2) & = & l^2 \tag{a}\end{eqnarray}$$となる。$$\begin{cases}p+q = a\\ pq = b\end{cases} \tag{b}$$とおく。この置き換えで式$(a)$は$$(a^2-4b)(a^2+1) = l^2 \tag{c}$$となる。式$(c)$を$b$について解くと、$$b = \frac{1}{4}\left(a^2-\frac{l^2}{a^2+1}\right) \tag{e}$$となる。式$(b)$を満たす実数$p, q$が存在するためには、$a^2-4b\geq 0$が必要である。これは、$p, q$が$t$についての二次方程式$t^2-at+b = 0$の実数解であり、判別式が$0$以上になることから示される。ところが式$(c)$から$\displaystyle a^2-4b = \frac{l^2}{a^2+1}\geq 0$であるから、以後はこの条件を気にせず進める。

点$M$の$y$座標を$m$とすると、$M$は線分の中点なので、式$(b), (e)$から$$\begin{eqnarray}2m & = & p^2+q^2 \\ & = & (p+q)^2-2pq \\ & = & a^2-2b \\ & = & a^2-\frac{1}{2}\left(a^2-\frac{l^2}{a^2+1}\right)\end{eqnarray}$$となる。したがって、$$4m = a^2+1+\frac{l^2}{a^2+1}-1$$であるが、相加平均と相乗平均の関係式から、$$\begin{eqnarray}4m & \geq & 2\sqrt{(a^2+1)\cdot \frac{l^2}{a^2+1}}-1 \\ & = & 2l-1 \end{eqnarray}$$である。等号が成り立つのは、$\displaystyle a^2+1 = \frac{l^2}{a^2+1}$のときで、すなわち$a=\pm\sqrt{l-1}$のときに成り立つ。このとき式$(e)$から$\displaystyle b = -\frac{1}{4}$となる。これから、点$M$の$x$座標は、式$(b)$をみて、$\displaystyle \frac{p+q}{2} = \frac{a}{2} = \pm\frac{\sqrt{l-1}}{2}$となる。以上より、題意を満たす座標は$\displaystyle \underline{\left(\pm\frac{\sqrt{l-1}}{2}, \frac{2l-1}{4}\right)}$となる。

解説

上の解答の式$(c)$の条件は結局考えなくても変わらないが、論理上抜かさない方が良い。$$4m = a^2+\frac{l^2}{a^2+1}$$が出れば微分でも相加平均・相乗平均の関係でも答えは出てくる。なお、練習として$0< l < 1$のときに点$M$の$y$座標が最小になるような点を考えると勉強になるだろう。