[math]1978年東京大学理系数学問題4

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問題

行列$A = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$に対し、次の問いに答えよ。
任意の整数$n > 0$に対して、$A^n$を数学的帰納法によって求めよ。また、与えられた$\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$に対し$A^n \begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_n \\b_n\end{pmatrix}$とおくとき、極限$$u = \lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}}, v = \lim_{n\to\infty}{\frac{b_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}}$$を求めよ。ただし、$\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}\ne \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$とする。

方針

予想して帰納法で・・・。

解答

$A^n = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3^n} & x_n \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}$であることを数学的帰納法で示す。ただし、$\displaystyle x_n = \frac{15}{8}\left(3^n-\frac{1}{3^n}\right)$である。$x_1 = 5$であるから$n=1$のときに正しい。ある$n$で正しいと仮定すると、$$\begin{eqnarray}A^{n+1} & = & \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3^n} & x_n \\ 0 &3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3^{n+1}} & \displaystyle\frac{5}{3^n}+3x_n\\ 0 & 3^{n+1}\end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3^{n+1}} & x_{n+1}\\ 0 & 3^{n+1}\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$となり、$n+1$でも正しい。数学的帰納法によって、$\displaystyle \underline{A^n = \begin{pmatrix}\displaystyle\frac{1}{3^n} & \displaystyle\frac{15}{8}\left(3^n-\frac{1}{3^n}\right)\\ 0 & 3^n\end{pmatrix}}$となる。

これから、$\displaystyle a_n = \frac{15b}{8}\cdot 3^n+\left(a-\frac{15b}{8}\right)\frac{1}{3^n}, b_n=3^nb$である。
$(i)$ $b = 0$のとき、$a\ne 0$で、$\displaystyle a_n = \frac{a}{3^n}, b_n=0$となるので、$$\begin{eqnarray}\frac{a_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}} & = & 1\\ \frac{b_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}} & = & 0\end{eqnarray}$$となる。よって、$\underline{u = 1, v = 0}$である。
$(ii)$ $b\ne 0$のとき、$$\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{b_n}} = \frac{15}{8}$$である。これから、$\displaystyle c_n = \frac{a_n}{b_n}$と置いて、$$\begin{eqnarray}\frac{a_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}} & = & \frac{c_n}{\sqrt{1+{c_n}^2}} \\ \frac{b_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}} & = & \frac{1}{\sqrt{1+{c_n}^2}}\end{eqnarray}$$と変形して、$\displaystyle \underline{u = \frac{15}{17}, v = \frac{8}{17}}$となる。

解説

解答の$x_n$についてだが、次のように推測している。まず、$A^1, A^2, \cdots$と求めていくと$A^n = \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{1}{3^n} & x_n \\ 0 & 3^n\end{pmatrix}$の形になる事が推測される。$x_n$はすぐには分からないので漸化式を立てる。$A^{n+1}=A^n\cdot A$だから、$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{1}{3^{n+1}} & x_{n+1} \\ 0 &3^{n+1}\end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{1}{3^n} & x_n \\ 0 &3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{1}{3} & 5 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{1}{3^{n+1}} & \displaystyle \frac{5}{3^n} + 3x_n\\ 0 & 3^{n+1}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$$となり、$\displaystyle x_{n+1} = \frac{5}{3^n}+3x_n$となる。$x_1 = 5$であるが、両辺に$3^n$を掛けてから、$y_n = 3^nx_n$とすると、$$\frac{y_{n+1}}{3} = 5 + 3y_n, y_1 = 15$$となる。これを解くことは難しくない。以上のことを解答では省略しており、また実際の試験で解答を作成する際にも記述する必要はない。が、部分点をえるという意味でも記述は残しておいて損をすることは無いだろう。極限は$b$が$0$になるかどうかで状況が異なる。この手のタイプの問題では場合分けが生じることが多いので、慌てて答えを出したものは頭に入れておくと良い。