[math]2022年東京大学理系前期数学問題1

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問題

次の関数$f(x)$を考える。$$f(x) = (\cos{x})\log{(\cos{x})}-\cos{x}+\int_{0}^{x}{(\cos{t})\log{(\cos{t})}dt}\ \ \ \left(0\leq x<\frac{\pi}{2}\right)$$
$(1)$ $f(x)$は区間$\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{2}$において最小値を持つことを示せ。
$(2)$ $f(x)$の区間$\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{2}$における最小値を求めよ。

方針

普通に微分すれば良い。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & -(\sin{x})\log{(\cos{x})}+\cos{x}\cdot \frac{(-\sin{x})}{\cos{x}}+\sin{x}+(\cos{x})\log{(\cos{x})}\\ & = & \log{(\cos{x})}(\cos{x}-\sin{x})\end{eqnarray}$$である。$\displaystyle 0\leq x < \frac{\pi}{2}$で$\log{(\cos{x})} < 0$であり、$f^{\prime}(x)$の増減は下のようになる。

$x$	$0$		$\displaystyle \frac{\pi}{4}$		$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$f^{\prime}(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\searrow$		$\nearrow$

$f(x)$の増減表。

以上より、$f(x)$は区間$\displaystyle 0\leq x<\frac{\pi}{2}$で最小値を持つ。

$(2)$ $(1)$より$f(x)$の最小値は$\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$のときで、$$\begin{eqnarray}f\left(\frac{\pi}{4}\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\log{\frac{1}{\sqrt{2}}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(\cos{t})\log{(\cos{t})}dt}\end{eqnarray}$$である。積分部分を$I$とすると、$$\begin{eqnarray} I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(\sin{t})^{\prime}\log{(\cos{t})}dt} \\ & = & [\sin{t}\log{(\cos{t}})]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(\sin{t})\cdot \frac{(-\sin{t})}{\cos{t}} dt} \\ & = & \frac{1}{\sqrt{2}}\log{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\sin^2{t}}{\cos{t}}dt}\end{eqnarray}$$である。再度積分部分を$J$とすると、$$\begin{eqnarray}J & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1-\cos^2{t}}{\cos{t}}dt}\\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{\cos{t}}dt}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{t}dt}\\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{t}}{\cos^2{t}}dt}-[\sin{t}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\cos{t}}{1-\sin^2{t}}dt}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}\left(\frac{\cos{t}}{1-\sin{t}}+\frac{\cos{t}}{1+\sin{t}}\right)dt}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ & = & \frac{1}{2}\left[-\log{(1-\sin{t})}+\log{(1+\sin{t})}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & = & \frac{1}{2}\log{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & = & \frac{1}{2}\log{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & = & \frac{1}{2}\log{(1+\sqrt{2})^2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & = & \log{(1+\sqrt{2})}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{eqnarray}$$である。以上から、求める最小値は$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\log{\frac{1}{\sqrt{2}}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+I+J = \underline{\log{(1+\sqrt{2})}-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\log{2}}$となる。

解説

慎重に計算して点を取ってくださいという問題ではあるのだろうが、決して簡単ではない。$\displaystyle \int{\frac{dt}{\cos{t}}}$や$\displaystyle \int{\frac{dt}{\sin{t}}}$については、解答のように$$\begin{eqnarray}\frac{1}{\cos{t}} & = & \frac{\cos{t}}{\cos^2{t}}\\ & = & \frac{\cos{t}}{1-\sin^2{t}}\\ & = & \frac{\cos{t}}{(1-\sin{t})(1+\sin{t})}\\ & = & \frac{1}{2}\left(\frac{\cos{t}}{1-\sin{t}}+\frac{\cos{t}}{1+\sin{t}}\right)\end{eqnarray}$$と変形して（最後の行の式が正しいことを確認されよ）、積分可能な形にまでするのが手筋となる。また、このような変形をせずに、三角関数$\sin{x}=t$などと置いて計算するのも良いだろう。